千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 A3

标签：

• Compactness-and-Connectedness

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\mathbb C$ に補有限位相、すなわち空集合および補集合が有限な集合を開集合とする位相を入れる。

(1) $f(z)=z^2$ が連続であることを示せ。

(2) $B=\{z:|z|<1\}$ がコンパクトかどうか理由とともに答えよ。

(3) $\mathbb Z^2=\{n+mi:n,m\in\mathbb Z\}$ が連結かどうか理由とともに答えよ。

题目描述

在 $\mathbb C$ 上赋予余有限拓扑：空集和补集有限的集合为开集。

(1) 证明 $z\mapsto z^2$ 连续。

(2) 判断单位开圆盘是否紧，并说明理由。

(3) 判断高斯整数集合 $\{n+mi:n,m\in\mathbb Z\}$ 是否连通，并说明理由。

Kai

(1)

有限集合 $F$ に対して $f^{-1}(F)$ は各元につき高々二個の根からなり有限。従って

$$f^{-1}(\mathbb C\setminus F)=\mathbb C\setminus f^{-1}(F)$$

は開集合である。空集合の逆像も開なので $f$ は連続。

(2)

コンパクトである。$B$ の任意の開被覆から非空な元 $U_0$ を一つ選ぶ。$B$ の部分位相も補有限位相なので $B\setminus U_0$ は有限である。その各点を覆う被覆の元を一つずつ加えれば有限部分被覆を得る。

(3)

連結である。$\mathbb Z^2$ は無限集合であり、非空な部分開集合は全て補有限である。従って任意の二つの非空開集合は必ず交わり、非空開集合への分離は存在しない。