千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 A2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$-1<x<1$ に対して

f(x)=\int_0^x\frac{dt}{t^4-1},\qquad F(x)=\int_0^xf(t)\,dt

と定める。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) $F(x)$ を求めよ。

(3) $F$ の原点での Taylor 展開と収束半径を求めよ。

(4) $D=\{(x,y):x^2+y^2<1/2\}$ における $\varphi(x,y)=f(x^2+y^2)$ の極値を求めよ。

对 $-1<x<1$ ，定义 $f(x)=\int_0^xdt/(t^4-1)$ 、 $F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$ 。

(1) 计算 $f$ 。

(2) 计算 $F$ 。

(3) 求 $F$ 在原点的 Taylor 展开及收敛半径。

(4) 求 $\varphi(x,y)=f(x^2+y^2)$ 在圆盘 $x^2+y^2<1/2$ 中的极值。

\frac1{t^4-1}=\frac1{4(t-1)}-\frac1{4(t+1)}-\frac1{2(t^2+1)}.

従って

f(x)=\frac14\log\frac{1-x}{1+x}-\frac12\arctan x.

(1) を積分して定数を $F(0)=0$ で決めると

F(x)=\frac14\log\frac{1+x^2}{1-x^2} +\frac x4\log\frac{1-x}{1+x}-\frac x2\arctan x.

$|t|<1$ で $1/(t^4-1)=-\sum_{n\ge0}t^{4n}$ 。二回項別積分して

F(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+2}}{(4n+1)(4n+2)}.

元の幾何級数の収束半径は $1$ で、項別積分で変わらないので、求める収束半径も $1$ 。

$0\le s<1/2$ では $f'(s)=1/(s^4-1)<0$ 。従って $f(x^2+y^2)\le f(0)=0$ であり、等号は $(x,y)=(0,0)$ のときのみ。

また

\nabla\varphi=\frac{2(x,y)}{(x^2+y^2)^4-1}

より、他の臨界点はない。従って唯一の極値は原点における極大値 $0$ （最大値でもある）であり、極小値は存在しない。