千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 A1

标签：

• Nilpotent-Matrix
• Jordan-Normal-Form

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$A$ を零でない $d$ 次実べき零行列（$d\ge2$）とし、$f(x)=Ax$ とおく。

(1) 固有多項式が $X^d$ であることを示せ。

(2) $A$ が対角化できないことを示せ。

(3) $a_n=\operatorname{rank}A^n$ として $d=a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_d=0$ を示せ。

(4) $\operatorname{Im}f=\ker f$ のとき、数列 $\{a_n\}$ と Jordan 標準形を求めよ。

题目描述

设 $A$ 为非零的 $d$ 阶实幂零矩阵，$d\ge2$，$f(x)=Ax$。

(1) 证明特征多项式为 $X^d$。

(2) 证明不能对角化。

(3) 令 $a_n=\operatorname{rank}A^n$，证明 $d=a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_d=0$。

(4) 若 $\operatorname{Im}f=\ker f$，求该数列及 Jordan 标准形。

Kai

(1)

複素化した行列 $A$ の任意の固有値を $\lambda$ とする。$Av=\lambda v,v\ne0$ と $A^k=0$ より $0=A^kv=\lambda^kv$、従って $\lambda=0$。固有多項式は $X^d$。

(2)

対角化できれば対角成分は全て固有値 $0$ なので、$A$ は零行列と相似となり $A=0$。仮定に矛盾する。

(3)

$\operatorname{Im}A^{n+1}\subset\operatorname{Im}A^n$ より $a_{n+1}\le a_n$。$a_0=d$ で、Cayley–Hamilton の定理から $A^d=0$、従って $a_d=0$。

(4)

$\operatorname{Im}A=\ker A$ より $A^2=0$。階数・退化次数の公式から

$$a_1=\dim\ker A=d-a_1,$$

従って $d$ は偶数で、

$$a_0=d,\qquad a_1=d/2,\qquad a_n=0\quad(n\ge2).$$

$A^2=0$ より Jordan ブロックの大きさは $1$ または $2$。各 $J_2(0)$ は階数 $1$、$J_1(0)$ は階数 $0$ なので、$J_2(0)$ が $d/2$ 個あり、$J_1(0)$ はない。従って標準形は $J_2(0)^{\oplus d/2}$。