千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 A0

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• Composition-of-Injective-and-Surjective-Maps
• Cardinality

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 空でない集合 $A,B$ と写像 $f:A\to B$ について、$f$ が単射であることと次の条件が同値であることを示せ。

任意の集合 $K$ と写像 $\varphi_1,\varphi_2:K\to A$ に対して、$f\circ\varphi_1=f\circ\varphi_2$ なら $\varphi_1=\varphi_2$。

(2) $\mathbb N$ を正整数全体、$A_n\subset\mathbb N$ とする。「各 $n$ と任意の有限集合 $X\subset\mathbb N$ に対して $A_n\cup X\ne\mathbb N$ なら、$\bigcup_{n\ge1}A_n\ne\mathbb N$」は正しいか。正しければ証明し、誤りなら反例を挙げよ。

题目描述

(1) 对非空集合 $A,B$ 及映射 $f:A\to B$，证明 $f$ 单射当且仅当：对任意集合 $K$ 及映射 $\varphi_1,\varphi_2:K\to A$，等式 $f\circ\varphi_1=f\circ\varphi_2$ 蕴含 $\varphi_1=\varphi_2$。

(2) 设 $A_n$ 是正整数集的子集。判断命题：若对所有 $n$ 及有限集 $X$ 均有 $A_n\cup X\ne\mathbb N$，则 $\bigcup_nA_n\ne\mathbb N$。给出证明或反例。

Kai

(1)

$f$ が単射なら、$f(\varphi_1(k))=f(\varphi_2(k))$ から各 $k\in K$ について $\varphi_1(k)=\varphi_2(k)$。従って条件を満たす。

逆に条件を仮定し、$f(a_1)=f(a_2)$ とする。一点集合 $K=\{*\}$ 上で $\varphi_i(*)=a_i$ と定めると $f\circ\varphi_1=f\circ\varphi_2$。条件より $\varphi_1=\varphi_2$ なので $a_1=a_2$。よって $f$ は単射である。

(2)

誤り。$A_n=\{n\}$ とすれば、任意の有限集合 $X$ に対して $A_n\cup X$ は有限なので $\mathbb N$ と異なる。一方、$\bigcup_{n\ge1}A_n=\mathbb N$ である。