千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2015年8月実施専門 B9

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\Theta=\theta$ の条件下で $X_1,\ldots,X_n$ は独立に $N(\theta,1)$ に従うとし、 $Y=(X_1+\cdots+X_n)/n$ とする。

(1) $Y$ の条件付き密度 $f(y\mid\theta)$ を求めよ。

(2) 事前密度を $p(\theta)$ 、 $Y$ の周辺密度を $f(y)$ とするとき、 $p(\theta\mid y)=f(y\mid\theta)p(\theta)/f(y)$ を示せ。

(3) $\Theta\sim N(a,1)$ の場合の事後密度を求めよ。

(4) 事前分布が $\tfrac12N(a,1)+\tfrac12N(-a,1)$ の場合の事後密度を求めよ。

给定 $\Theta=\theta$ 后， $X_1,\ldots,X_n$ 独立同服从 $N(\theta,1)$ ，令 $Y$ 为样本均值。

(1) 求条件密度 $f(y\mid\theta)$ 。

(2) 证明 Bayes 公式 $p(\theta\mid y)=f(y\mid\theta)p(\theta)/f(y)$ 。

(3) 先验为 $N(a,1)$ 时求后验密度。

(4) 先验为等权混合 $\tfrac12N(a,1)+\tfrac12N(-a,1)$ 时求后验密度。

$Y\mid\Theta=\theta\sim N(\theta,1/n)$ なので

f(y\mid\theta)=\sqrt{\frac n{2\pi}}\exp\left(-\frac n2(y-\theta)^2\right).

同時密度は $f(y,\theta)=f(y\mid\theta)p(\theta)$ 、周辺密度は $f(y)=\int_{\mathbb R}f(y\mid u)p(u)\,du$ 。条件付き密度の定義から、 $f(y)>0$ の点で

p(\theta\mid y)=\frac{f(y,\theta)}{f(y)}=\frac{f(y\mid\theta)p(\theta)}{f(y)}.

平方完成すると

n(y-\theta)^2+(\theta-a)^2 =(n+1)\left(\theta-\frac{ny+a}{n+1}\right)^2+\frac n{n+1}(y-a)^2.

従って $\Theta\mid Y=y\sim N((ny+a)/(n+1),1/(n+1))$ であり、密度は

p(\theta\mid y)=\sqrt{\frac{n+1}{2\pi}} \exp\left[-\frac{n+1}{2}\left(\theta-\frac{ny+a}{n+1}\right)^2\right].

$m_\pm=(ny\pm a)/(n+1)$ とし、 $q_\pm$ を $N(m_\pm,1/(n+1))$ の密度とする。(3) を各成分に適用すると

p(\theta\mid y)=w_+(y)q_+(\theta)+w_-(y)q_-(\theta),

ここで

w_\pm(y)=\frac{\exp[-n(y\mp a)^2/(2(n+1))]}{ \exp[-n(y-a)^2/(2(n+1))]+\exp[-n(y+a)^2/(2(n+1))]}.

すなわち $w_+=1/(1+e^{-2nay/(n+1)})$ 、 $w_-=1-w_+$ である。