千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2015年8月実施専門 B8

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X$ を非負値確率変数とし、 $\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}\,dt$ とする。次を示せ。無限大となる場合も拡張実数の等式として扱う。

(1) $r>0$ に対して

E[X^{-r}]=\frac1{\Gamma(r)}\int_0^\infty t^{r-1}E[e^{-tX}]\,dt.

(2) $0<r<1$ に対して

E[X^r]=\frac r{\Gamma(1-r)}\int_0^\infty\frac{1-E[e^{-tX}]}{t^{r+1}}\,dt.

(3) $n\in\mathbb N,n<r<n+1$ とし、 $\phi(t)=E[e^{-tX}]$ が $t=0$ を含め $n$ 階連続微分可能ならば

E[X^r]=\frac{r-n}{\Gamma(n+1-r)}\int_0^\infty (-1)^n\frac{\phi^{(n)}(0)-\phi^{(n)}(t)}{t^{r+1-n}}\,dt.

设 $X\ge0$ 为随机变量， $\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^{s-1}\,dt$ 。证明：

(1) 对 $r>0$ ， $E[X^{-r}]=\Gamma(r)^{-1}\int_0^\infty t^{r-1}E[e^{-tX}]\,dt$ 。

(2) 对 $0<r<1$ ， $E[X^r]=r\Gamma(1-r)^{-1}\int_0^\infty(1-E[e^{-tX}])/t^{r+1}\,dt$ 。

(3) 若 $n<r<n+1$ ，且 $\phi(t)=E[e^{-tX}]$ 在包含零的区间上为 $n$ 次连续可微，证明

E[X^r]=\frac{r-n}{\Gamma(n+1-r)}\int_0^\infty(-1)^n\frac{\phi^{(n)}(0)-\phi^{(n)}(t)}{t^{r+1-n}}\,dt.

允许等式两边同时为无穷大。

$x>0$ に対し $u=tx$ と置けば

\int_0^\infty t^{r-1}e^{-tx}\,dt=x^{-r}\Gamma(r).

$x=0$ では両辺を $+\infty$ と読む。 $x=X$ として期待値を取り、非負関数に対する Tonelli の定理で積分と期待値を交換すれば結論を得る。

部分積分により、 $0<r<1$ では

\int_0^\infty\frac{1-e^{-u}}{u^{r+1}}\,du =\frac1r\int_0^\infty e^{-u}u^{-r}\,du =\frac{\Gamma(1-r)}r.

境界項は、零の近くで $1-e^{-u}=O(u)$ 、無限遠で $u^{-r}\to0$ なので消える。従って各 $x\ge0$ について

x^r=\frac r{\Gamma(1-r)}\int_0^\infty(1-e^{-tx})t^{-r-1}\,dt.

Tonelli の定理により期待値を取ればよい。

$t>0$ では $x^ne^{-tx}$ が有界なので積分内微分ができ、

(-1)^n\phi^{(n)}(t)=E[X^ne^{-tX}].

$t\downarrow0$ として単調収束定理と $\phi^{(n)}$ の零での連続性を用いると、 $E[X^n]=(-1)^n\phi^{(n)}(0)<\infty$ 。従って

(-1)^n(\phi^{(n)}(0)-\phi^{(n)}(t))=E[X^n(1-e^{-tX})].

$s=r-n\in(0,1)$ とする。(2) の各点での積分恒等式に $x^n$ を掛け、Tonelli の定理を用いると

E[X^r]=\frac{s}{\Gamma(1-s)}\int_0^\infty E[X^n(1-e^{-tX})]t^{-s-1}\,dt,

これは求める等式である。