千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B7

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$f\in C([0,\infty);\mathbb R)$、$f(t)\to0$ とし、

$$x'(t)=x(t)+f(t),\qquad x(0)=x_0$$

を考える。

(a) $f(t)=e^{-t}\sin t$ の場合の解を求めよ。

(b) $x_0=-\int_0^\infty e^{-s}f(s)\,ds$ なら $x(t)\to0$ を示せ。

(c) $x_0>-\int_0^\infty e^{-s}f(s)\,ds$ なら $x(t)\to\infty$ を示せ。

题目描述

设连续函数 $f(t)\to0$，考虑 $x'=x+f(t),x(0)=x_0$。

(a) 当 $f(t)=e^{-t}\sin t$ 时求解。

(b) 若 $x_0=-\int_0^\infty e^{-s}f(s)\,ds$，证明 $x(t)\to0$。

(c) 若 $x_0$ 大于上述值，证明 $x(t)\to+\infty$。

Kai

積分因子 $e^{-t}$ を用いると

$$x(t)=e^t\left(x_0+\int_0^te^{-s}f(s)\,ds\right).$$

(a)

$$\int_0^te^{-2s}\sin s\,ds=\frac{1-e^{-2t}(\cos t+2\sin t)}5$$

より

$$x(t)=\left(x_0+\frac15\right)e^t-\frac15e^{-t}(\cos t+2\sin t).$$

(b)

$f$ は連続で零に収束するので有界であり、初期値を定める積分は絶対収束する。この初期値では

$$x(t)=-e^t\int_t^\infty e^{-s}f(s)\,ds,qquad |x(t)|\le\sup_{s\ge t}|f(s)|\longrightarrow0.$$

(c)

$C=x_0+\int_0^\infty e^{-s}f(s)\,ds>0$ とおくと

$$x(t)=Ce^t-e^t\int_t^\infty e^{-s}f(s)\,ds=Ce^t+o(1)\longrightarrow+\infty.$$