千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B6

标签：

• Lebesgue-Dominated-and-Monotone-Convergence
• Gamma-Function

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $a>0$ に対し $\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx$ を求めよ。

(2) 次を示せ。

$$\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x-1}\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}.$$

(3) 次の極限を求めよ。

$$\lim_{c\to0}\int_0^1\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\,dy.$$

题目描述

(1) 计算 $\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx$（$a>0$）。

(2) 证明 $\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx=\sum_{n\ge1}2/n^3$。

(3) 求 $\lim_{c\to0}\int_0^1c(\log y)^2/(e^{c(1-y)}-1)\,dy$。

Kai

(1)

二回部分積分して

$$\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx=\frac2a\int_0^\infty xe^{-ax}\,dx =\frac2{a^2}\int_0^\infty e^{-ax}\,dx=\frac2{a^3}.$$

(2)

$x>0$ で $1/(e^x-1)=\sum_{n\ge1}e^{-nx}$。各項は非負なので単調収束定理により

$$\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x-1}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^\infty x^2e^{-nx}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}.$$

(3)

$0<y<1$ で被積分関数は $(\log y)^2/(1-y)$ に収束する。$0<|c|\le1$ に対して、平均値の定理から

$$|e^{c(1-y)}-1|\ge e^{-1}|c|(1-y),\qquad \left|\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\right|\le e\frac{(\log y)^2}{1-y}.$$

$y=e^{-x}$ と置けば、支配関数の積分は (2) により有限である。従って優収束定理から

$$\lim_{c\to0}\int_0^1\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\,dy =\int_0^1\frac{(\log y)^2}{1-y}\,dy =\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}=2\zeta(3).$$