跳到主要内容

千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B6

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) a>0a>0 に対し ∫0∞x2e−ax dx\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx を求めよ。

(2) 次を示せ。

∫0∞x2ex−1 dx=∑n=1∞2n3.\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x-1}\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}.

(3) 次の極限を求めよ。

lim⁡c→0∫01c(log⁡y)2ec(1−y)−1 dy.\lim_{c\to0}\int_0^1\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\,dy.

题目描述​

(1) 计算 ∫0∞x2e−ax dx\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx（a>0a>0）。

(2) 证明 ∫0∞x2/(ex−1) dx=∑n≥12/n3\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx=\sum_{n\ge1}2/n^3。

(3) 求 lim⁡c→0∫01c(log⁡y)2/(ec(1−y)−1) dy\lim_{c\to0}\int_0^1c(\log y)^2/(e^{c(1-y)}-1)\,dy。

Kai​

(1)​

二回部分積分して

∫0∞x2e−ax dx=2a∫0∞xe−ax dx=2a2∫0∞e−ax dx=2a3.\int_0^\infty x^2e^{-ax}\,dx=\frac2a\int_0^\infty xe^{-ax}\,dx =\frac2{a^2}\int_0^\infty e^{-ax}\,dx=\frac2{a^3}.

(2)​

x>0x>0 で 1/(ex−1)=∑n≥1e−nx1/(e^x-1)=\sum_{n\ge1}e^{-nx}。各項は非負なので単調収束定理により

∫0∞x2ex−1 dx=∑n=1∞∫0∞x2e−nx dx=∑n=1∞2n3.\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x-1}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^\infty x^2e^{-nx}\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}.

(3)​

0<y<10<y<1 で被積分関数は (log⁡y)2/(1−y)(\log y)^2/(1-y) に収束する。0<∣c∣≤10<|c|\le1 に対して、平均値の定理から

∣ec(1−y)−1∣≥e−1∣c∣(1−y),∣c(log⁡y)2ec(1−y)−1∣≤e(log⁡y)21−y.|e^{c(1-y)}-1|\ge e^{-1}|c|(1-y),\qquad \left|\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\right|\le e\frac{(\log y)^2}{1-y}.

y=e−xy=e^{-x} と置けば、支配関数の積分は (2) により有限である。従って優収束定理から

lim⁡c→0∫01c(log⁡y)2ec(1−y)−1 dy=∫01(log⁡y)21−y dy=∑n=1∞2n3=2ζ(3).\lim_{c\to0}\int_0^1\frac{c(\log y)^2}{e^{c(1-y)}-1}\,dy =\int_0^1\frac{(\log y)^2}{1-y}\,dy =\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^3}=2\zeta(3).
本页目录