千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B5

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• Residue-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$0<\lambda<1$ とする。

(1) $C_R$ を頂点 $\pm R,\pm R+2\pi i$ の長方形の正の向きの周とし、$A=\int_{C_R}e^{\lambda z}/(1+e^z)\,dz$ を求めよ。

(2) $I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda x}/(1+e^x)\,dx$ を求めよ。

(3) $J=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{\lambda x}/(1+e^x)\,dx$ を求めよ。

题目描述

设 $0<\lambda<1$。

(1) 沿顶点为 $\pm R,\pm R+2\pi i$ 的矩形正向边界，计算 $\int e^{\lambda z}/(1+e^z)\,dz$。

(2) 计算 $I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\lambda x}/(1+e^x)\,dx$。

(3) 计算 $J=\int_{-\infty}^{\infty}xe^{\lambda x}/(1+e^x)\,dx$。

Kai

(1)

長方形内の極は $z=\pi i$ のみで、その留数は

$$\frac{e^{\lambda\pi i}}{e^{\pi i}}=-e^{\lambda\pi i}.$$

従って $A=-2\pi i e^{\lambda\pi i}$。

(2)

上下の水平辺の積分の和は

$$(1-e^{2\pi i\lambda})\int_{-R}^R\frac{e^{\lambda x}}{1+e^x}\,dx.$$

右辺上の積分の絶対値は $2\pi e^{\lambda R}/(e^R-1)$ 以下、左辺上では $2\pi e^{-\lambda R}/(1-e^{-R})$ 以下なので、いずれも $R\to\infty$ で零となる。従って

$$(1-e^{2\pi i\lambda})I=-2\pi i e^{\lambda\pi i},\qquad I=\frac\pi{\sin(\pi\lambda)}.$$

(3)

$\lambda$ の任意のコンパクト部分区間 $[\delta,1-\delta]\subset(0,1)$ 上で、微分後の被積分関数は $|x|e^{-\delta|x|}$ により支配される。従って積分内で $\lambda$ に関して微分でき、

$$J=I'(\lambda)=-\frac{\pi^2\cos(\pi\lambda)}{\sin^2(\pi\lambda)}.$$