千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B4

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• Simplicial-and-Cellular-Homology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

単体複体

$$\begin{aligned} K&=\{A,B,C,D,E,|AB|,|AC|,|BC|,|AD|,|AE|,|ED|\},\\ L&=\{P,Q,R,S,|PQ|,|PR|,|QR|,|QS|,|RS|\} \end{aligned}$$

を考える。面は含まれない。

(1) $|K|,|L|$ を図示せよ。

(2) $H_1(K),H_1(L)$ を求めよ（整数係数）。

(3) $|K|$ と $|L|$ が同相でないことを示せ。

(4) $H_1$ 上で同型を誘導する単体写像 $\varphi:K\to L$ を一つ与えよ。

题目描述

考虑上式给出的两个一维单纯复形 $K,L$，其中没有填充的二维面。

(1) 画出几何实现。

(2) 求整数系数第一同调群。

(3) 证明两者不同胚。

(4) 给出一个单纯映射 $\varphi:K\to L$，使其诱导的第一同调群映射为同构。

Kai

(1)

$K$ は頂点 $A$ を共有する二つの三角形の周、$L$ は辺 $QR$ を共有する二つの三角形の周である。

(2)

連結なグラフの第一 Betti 数は「辺数 $-$ 頂点数 $+1$」なので

$$H_1(K)\cong\mathbb Z^{6-5+1}=\mathbb Z^2,\qquad H_1(L)\cong\mathbb Z^{5-4+1}=\mathbb Z^2.$$

(3)

$K$ の頂点 $A$ の十分小さい近傍は、$A$ を除くと四つの連結成分に分かれる。一方、$L$ では $Q,R$ の局所的な枝数が $3$、その他の点では $2$ であり、枝数 $4$ の点はない。局所的な枝数は同相写像で保たれるので、両空間は同相でない。

(4)

頂点写像を

$$\varphi(A)=Q,\quad\varphi(B)=P,\quad\varphi(C)=R,\quad \varphi(D)=R,\quad\varphi(E)=S$$

と定める。$K$ の各辺は $L$ の辺へ写るので単体写像である。

$H_1(K)$ の基底を巡回路 $A\to B\to C\to A$ と $A\to D\to E\to A$ に取ると、その像は $Q\to P\to R\to Q$ と $Q\to R\to S\to Q$。これらは $H_1(L)$ の基底をなすので、$\varphi_*$ は同型である。