千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2015年8月実施専門 B3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2=1\}$ に相対位相を入れる。

(1) $C^\infty$ アトラスを与えて、 $S^2$ を二次元 $C^\infty$ 多様体にせよ。

(2) $f:S^2\to\mathbb R$ , $f(x,y,z)=xy$ が $C^\infty$ 関数かどうか、理由を付して答えよ。

(3) $f$ の臨界点を全て求めよ。

(4) $N=\{(x,y,z)\in S^2:xy=1/3\}$ は一次元 $C^\infty$ 部分多様体か。理由を付して答えよ。

单位球面 $S^2$ 取通常相对拓扑。

(1) 给出光滑图册，使其成为二维光滑流形。

(2) 判断 $f(x,y,z)=xy$ 在球面上是否光滑，并说明理由。

(3) 求全部临界点。

(4) 判断水平集 $xy=1/3$ 是否为球面的一维光滑子流形，并说明理由。

$x_1=x,x_2=y,x_3=z$ とし、 $i=1,2,3$ 、 $\varepsilon=\pm1$ に対して

U_i^\varepsilon=\{p\in S^2:\varepsilon x_i>0\}

を取り、 $\phi_i^\varepsilon$ を第 $i$ 座標を除く射影とする。その像は開単位円板で、逆写像は除いた座標を $\varepsilon\sqrt{1-u^2-v^2}$ で補う写像である。

これら六つの開集合は $S^2$ を覆い、逆写像と座標変換は全て $C^\infty$ 。従って二次元 $C^\infty$ アトラスを与える。

$xy$ は $\mathbb R^3$ 上の多項式関数の制限であり、各座標で上記の $C^\infty$ 逆写像との合成となるので $C^\infty$ である。

臨界点では勾配 $(y,x,0)$ が球面の法線 $(x,y,z)$ と平行となる。すなわち

y=\lambda x,\quad x=\lambda y,\quad 0=\lambda z,\quad x^2+y^2+z^2=1.

$\lambda=0$ なら $(x,y,z)=(0,0,\pm1)$ 。 $\lambda\ne0$ なら $z=0$ 、 $x,y\ne0$ で $\lambda=\pm1$ 。従って全臨界点は

(0,0,\pm1),\qquad \left(\frac{\varepsilon}{\sqrt2},\frac{\delta}{\sqrt2},0\right) \quad(\varepsilon,\delta\in\{1,-1\}).

臨界値は $0,1/2,-1/2$ なので $1/3$ は正則値である。 $N$ は空でなく（例えば $(1/\sqrt3,1/\sqrt3,1/\sqrt3)\in N$ ）、正則値定理により次元 $2-1=1$ の $C^\infty$ 部分多様体である。