千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B2

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• Quotient-Ring-Chinese-Remainder-Theorem-Decomposition-and-Unit-Group

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\zeta=e^{2\pi i/8}$、$A=\mathbb Z[X]/(X^4+1)$ とする。

(1) $\zeta$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式が $X^4+1$ であることを示せ。

(2) $\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q$ が Galois 拡大で、Galois 群が $(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times$ と同型であることを示せ。

(3) $p=3$ のとき $A/pA$ は二つの体の直積と同型であることを示せ。

(4) $p=17$ のとき $A/pA$ の構造を決定せよ。

题目描述

令 $\zeta=e^{2\pi i/8}$，$A=\mathbb Z[X]/(X^4+1)$。

(1) 求并证明 $\zeta$ 在 $\mathbb Q$ 上的最小多项式为 $X^4+1$。

(2) 证明 $\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q$ 为 Galois 扩张，其群同构于 $(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times$。

(3) 证明 $A/3A$ 同构于两个域的直积。

(4) 确定 $A/17A$ 的环结构。

Kai

(1)

$(X+1)^4+1=X^4+4X^3+6X^2+4X+2$ は素数 $2$ に関する Eisenstein の判定法により既約。従って $X^4+1$ も $\mathbb Q$ 上既約であり、$\zeta$ を根に持つのでこれが最小多項式である。

(2)

$X^4+1$ の根は $\zeta,\zeta^3,\zeta^5,\zeta^7$ で、全て $\mathbb Q(\zeta)$ に属し相異なる。よってこの拡大は分離多項式の分解体であり Galois 拡大である。

各自己同型は $\zeta\mapsto\zeta^a$（$a=1,3,5,7$）で一意に定まり、次数が $4$ なので四つとも存在する。合成は指数の法 $8$ の積に対応し、

$$\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times.$$

(3)

$$X^4+1=(X^2+X+2)(X^2+2X+2)\quad\text{in }\mathbb F_3[X].$$

両二次式は $\mathbb F_3$ に根を持たないので既約であり、互いに素。中国剰余定理より

$$A/3A\cong\mathbb F_3[X]/(X^4+1)\cong\mathbb F_9\times\mathbb F_9.$$

(4)

$\mathbb F_{17}$ では $2,8,-2,-8$ が相異なる四根なので

$$X^4+1=(X-2)(X+2)(X-8)(X+8),\qquad A/17A\cong\mathbb F_{17}^{\,4}.$$