千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B12

标签：

• Binary-Linear-Codes
• Kernel-and-Image

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\alpha$ を $X^6+X+1$ の根とし、$\mathbb F_{64}=\mathbb F_2(\alpha)$ とする。次の多項式を考える。

$$f(X)=X^8+(\alpha^4+\alpha)X^4+(\alpha^5+\alpha^2+1)X^2+(\alpha^5+\alpha^3+\alpha^2)X.$$

$C=\{a\in\mathbb F_{64}:f(a)=0\}$ とおく。

(1) $C$ が $\mathbb F_2$ 上の線形符号であることを示せ。

(2) $\sum_{i=0}^5c_i\alpha^i\leftrightarrow(c_0,\ldots,c_5)$ で $\mathbb F_{64}$ と $\mathbb F_2^6$ を同一視する。$C$ を $[6,k]$ 符号としたとき $k$ を求めよ。

(3) $k\times6$ の生成行列を一つ求めよ。

题目描述

令 $\mathbb F_{64}=\mathbb F_2(\alpha)$，其中 $\alpha^6+\alpha+1=0$，定义

$$f(X)=X^8+(\alpha^4+\alpha)X^4+(\alpha^5+\alpha^2+1)X^2+(\alpha^5+\alpha^3+\alpha^2)X, \qquad C=\{a:f(a)=0\}.$$

(1) 证明 $C$ 是二元线性码。

(2) 以基 $1,\alpha,\ldots,\alpha^5$ 对应到 $\mathbb F_2^6$，求其维数 $k$。

(3) 给出一个 $k\times6$ 生成矩阵。

Kai

(1)

標数 $2$ では $(a+b)^{2^j}=a^{2^j}+b^{2^j}$ なので $f(a+b)=f(a)+f(b)$。また $f(ca)=cf(a)$（$c\in\mathbb F_2$）。従って $f$ は $\mathbb F_2$ 線形写像であり、$C=\ker f$ は線形符号である。

(2)

$\alpha^6=\alpha+1$ を用いて計算すると

$$\begin{array}{c|l} a&f(a)\\\hline 1&\alpha^4+\alpha^3+\alpha\\ \alpha&\alpha^5+\alpha^3+1\\ \alpha^2&\alpha^5+\alpha^4+\alpha+1\\ \alpha^3&\alpha^3+\alpha+1\\ \alpha^4&\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3\\ \alpha^5&\alpha^5+\alpha \end{array}$$

従って線形性により

$$u=1+\alpha+\alpha^2,\qquad v=1+\alpha+\alpha^3+\alpha^4,\qquad w=\alpha+\alpha^3+\alpha^5$$

はいずれも $C$ に属する。$u,v,w$ は、それぞれ $\alpha^2,\alpha^4,\alpha^5$ の係数を見ると線形独立である。よって $\dim C\ge3$。

一方、零でない次数 $8$ の多項式 $f$ は体内に高々 $8$ 個の根しか持たない。$|C|=2^k\le8$ なので $k\le3$。従って $k=3$。

(3)

上の基底を行ベクトルとして並べれば

$$G=\begin{pmatrix} 1&1&1&0&0&0\\ 1&1&0&1&1&0\\ 0&1&0&1&0&1 \end{pmatrix}$$

が求める生成行列である。