跳到主要内容

千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 B1

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

N,HN,H は群 GG の正規部分群で、G=NH,N∩H={1}G=NH,N\cap H=\{1\} とする。g=nhg=nh に対し π1(g)=n,π2(g)=h\pi_1(g)=n,\pi_2(g)=h と定める。

(1) 任意の部分群 K≤GK\le G に対して

K/((K∩N)(K∩H))≅π1(K)/(K∩N)K/((K\cap N)(K\cap H))\cong\pi_1(K)/(K\cap N)

を示せ。

(2) N′◃N,H′◃HN'\triangleleft N,H'\triangleleft H と同型 f:N/N′→H/H′f:N/N'\to H/H' があるとする。π1(K)=N,π2(K)=H,K∩N=N′,K∩H=H′\pi_1(K)=N,\pi_2(K)=H,K\cap N=N',K\cap H=H' を満たす K≤GK\le G が存在することを示せ。

题目描述​

设 N,HN,H 为 GG 的正规子群，G=NH,N∩H={1}G=NH,N\cap H=\{1\}。对唯一分解 g=nhg=nh 定义投影 π1(g)=n,π2(g)=h\pi_1(g)=n,\pi_2(g)=h。

(1) 证明任意子群 K≤GK\le G 满足

K/((K∩N)(K∩H))≅π1(K)/(K∩N).K/((K\cap N)(K\cap H))\cong\pi_1(K)/(K\cap N).

(2) 若有 N′◃N,H′◃HN'\triangleleft N,H'\triangleleft H 以及同构 f:N/N′→H/H′f:N/N'\to H/H'，证明存在子群 KK 使其两投影分别为 N,HN,H，而与两因子的交分别为 N′,H′N',H'。

Kai​

[N,H]⊂N∩H={1}[N,H]\subset N\cap H=\{1\} より N,HN,H は互いに可換し、G≅N×HG\cong N\times H である。

(1)​

K∩NK\cap N は π1(K)\pi_1(K) の正規部分群である。実際、k=nh∈Kk=nh\in K と u∈K∩Nu\in K\cap N に対して nun−1=kuk−1∈K∩Nnun^{-1}=kuk^{-1}\in K\cap N。

全射準同型

ψ:K→π1(K)/(K∩N),ψ(k)=π1(k)(K∩N)\psi:K\to\pi_1(K)/(K\cap N),\qquad \psi(k)=\pi_1(k)(K\cap N)

を考える。k=nh∈ker⁡ψk=nh\in\ker\psi なら n∈K∩Nn\in K\cap N、h=n−1k∈K∩Hh=n^{-1}k\in K\cap H。逆の包含も明らかなので

ker⁡ψ=(K∩N)(K∩H).\ker\psi=(K\cap N)(K\cap H).

第一同型定理より所望の同型を得る。

(2)​

K={nh:n∈N, h∈H, f(nN′)=hH′}K=\{nh:n\in N,\ h\in H,\ f(nN')=hH'\}

とおく。商群内の条件は積と逆元に保たれ、N,HN,H は可換するので KK は部分群である。

ff の全射性と定義域が N/N′N/N' 全体であることから、任意の nn に適する hh、任意の hh に適する nn が存在し、π1(K)=N,π2(K)=H\pi_1(K)=N,\pi_2(K)=H。

また n∈K∩Nn\in K\cap N は f(nN′)=H′f(nN')=H' と同値であり、単射性から n∈N′n\in N'。同様に K∩H=H′K\cap H=H'。従って全ての条件を満たす。

本页目录