千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 A4

标签：

• Exponential-Distribution
• Order-Statistics

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,\ldots,X_n$ は独立に密度 $\theta e^{-\theta x}$（$x>0,\theta>0$）を持つとし、$Y=\max_iX_i,Z=\min_iX_i$ とおく。

(1) $X_1$ の平均と分散を求めよ。

(2) $Y,Z$ の各密度を求めよ。

(3) $(Y,Z)$ の同時密度を求めよ。

(4) $n=2$ のとき $Y,Z$ の共分散を求めよ。

题目描述

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同服从参数 $\theta>0$ 的指数分布，密度为 $\theta e^{-\theta x}$。令 $Y=\max_iX_i,Z=\min_iX_i$。

(1) 求 $X_1$ 的均值和方差。

(2) 求 $Y,Z$ 的边缘密度。

(3) 求联合密度。

(4) 当 $n=2$ 时求协方差。

Kai

(1)

部分積分により $E(X_1)=1/\theta,E(X_1^2)=2/\theta^2$。従って $\operatorname{Var}X_1=1/\theta^2$。

(2)

$y,z>0$ に対し

$$P(Y\le y)=(1-e^{-\theta y})^n,\qquad P(Z>z)=e^{-n\theta z}.$$

よって

$$f_Y(y)=n\theta e^{-\theta y}(1-e^{-\theta y})^{n-1},\qquad f_Z(z)=n\theta e^{-n\theta z}$$

であり、非正の領域では零。

(3)

$n\ge2$ とする。最大値を取る変数と最小値を取る変数の選び方は $n(n-1)$ 通りで、残りは全て $(z,y)$ に入る。従って

$$f_{Y,Z}(y,z)=n(n-1)\theta^2e^{-\theta(y+z)}(e^{-\theta z}-e^{-\theta y})^{n-2} \quad(0<z<y),$$

それ以外は零。$n=1$ では $Y=Z=X_1$ なので二次元 Lebesgue 測度に関する密度は存在しない。

(4)

$n=2$ では $YZ=X_1X_2$、$Y+Z=X_1+X_2$ なので

$$E(YZ)=\frac1{\theta^2},\qquad E(Z)=\frac1{2\theta},\qquad E(Y)=\frac2\theta-\frac1{2\theta}=\frac3{2\theta}.$$

従って

$$\operatorname{Cov}(Y,Z)=\frac1{\theta^2}-\frac3{4\theta^2}=\frac1{4\theta^2}.$$