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千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 A3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

f(x,y)=(x+1)2+y2f(x,y)=(x+1)^2+y^2 とし、R2\mathbb R^2 に Of={f−1(O):O⊂R は通常の開集合}\mathcal O_f=\{f^{-1}(O):O\subset\mathbb R\text{ は通常の開集合}\} を入れる。

A={(x,y):(x+1)2+y2=1},B={(1/n,y):n∈N, y∈R}.A=\{(x,y):(x+1)^2+y^2=1\},\qquad B=\{(1/n,y):n\in\mathbb N,\ y\in\mathbb R\}.

(1) 通常の平面位相で AA が閉集合であることを示せ。

(2) 通常の平面位相で BB が閉集合かどうか判定し、証明せよ。

(3) B⊂O,A∩O=∅B\subset O,A\cap O=\varnothing となる Of\mathcal O_f の開集合を挙げよ。

(4) Of\mathcal O_f の部分空間として BB が連結かどうか判定し、証明せよ。

题目描述​

令 f(x,y)=(x+1)2+y2f(x,y)=(x+1)^2+y^2，在平面上赋予由 ff 诱导的拓扑 Of\mathcal O_f。设

A={(x,y):f(x,y)=1},B={(1/n,y):n≥1, y∈R}.A=\{(x,y):f(x,y)=1\},\qquad B=\{(1/n,y):n\ge1,\ y\in\mathbb R\}.

(1) 证明 AA 在通常平面拓扑下闭。

(2) 判断并证明 BB 在通常平面拓扑下是否闭。

(3) 举出包含 BB 且与 AA 不相交的 Of\mathcal O_f 开集。

(4) 判断并证明 BB 在 Of\mathcal O_f 所诱导的子空间拓扑下是否连通。

Kai​

(1)​

ff は通常の位相で連続であり、A=f−1({1})A=f^{-1}(\{1\}) は閉集合の逆像なので閉集合である。

(2)​

(1/n,0)∈B(1/n,0)\in B は (0,0)∉B(0,0)\notin B に収束するので、BB は閉集合でない。

(3)​

O=f−1((1,∞))={(x,y):(x+1)2+y2>1}O=f^{-1}((1,\infty))=\{(x,y):(x+1)^2+y^2>1\}

とすればよい。BB 上では (1+1/n)2+y2>1(1+1/n)^2+y^2>1、AA 上では f=1f=1 である。

(4)​

連結である。まず

f(B)=⋃n≥1[(1+1/n)2,∞)=(1,∞).f(B)=\bigcup_{n\ge1}[(1+1/n)^2,\infty)=(1,\infty).

BB の開集合は (f∣B)−1(U)(f|_B)^{-1}(U)（UU は (1,∞)(1,\infty) の開集合）という形である。BB が二つの非空開集合に分離されると、それぞれは f∣Bf|_B の各繊維を丸ごと含むため、その像が (1,∞)(1,\infty) の分離を与える。区間は連結なので矛盾する。

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