千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 A2

标签：

• Improper-Integral
• Gamma-Function

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $\alpha>0$ に対して $\lim_{t\to\infty}t^\alpha e^{-t}=0$ を示せ。

(2) $n\ge2$ に対して $\int_1^\infty(\log x)/x^n\,dx$ を求めよ。

(3) $n\ge2$ に対して $\int_1^\infty((\log x)/x)^n\,dx$ を求めよ。

题目描述

(1) 证明任意 $\alpha>0$ 满足 $t^\alpha e^{-t}\to0$（$t\to\infty$）。

(2) 求 $\int_1^\infty(\log x)/x^n\,dx$，其中 $n\ge2$。

(3) 求 $\int_1^\infty((\log x)/x)^n\,dx$，其中 $n\ge2$。

Kai

(1)

整数 $m>\alpha$ を取る。$t>0$ に対して $e^t\ge t^m/m!$ なので

$$0\le t^\alpha e^{-t}\le m!t^{\alpha-m}\longrightarrow0.$$

(2)

$u=\log x$ と置き、(1) によって境界項が消えることを用いて部分積分すると

$$\int_1^\infty\frac{\log x}{x^n}\,dx =\int_0^\infty ue^{-(n-1)u}\,du =\frac1{n-1}\int_0^\infty e^{-(n-1)u}\,du =\frac1{(n-1)^2}.$$

(3)

同じ置換で

$$\int_1^\infty\left(\frac{\log x}{x}\right)^n\,dx =\int_0^\infty u^ne^{-(n-1)u}\,du.$$

$J_k(a)=\int_0^\infty u^ke^{-au}\,du$ とすると、部分積分により $J_k(a)=kJ_{k-1}(a)/a$、$J_0(a)=1/a$。従って

$$\int_1^\infty\left(\frac{\log x}{x}\right)^n\,dx=\frac{n!}{(n-1)^{n+1}}.$$