千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 A1

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• Jordan-Normal-Form

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$M_n(\mathbb C)$ 上の線形変換を $\theta_A(X)=AXA$ と定める。$J_d$ は固有値 $0$ の $d$ 次 Jordan ブロック（直上対角成分が $1$）とする。

(1) $A=J_2,J_3$ の各場合に $AXA=A$ となる $X$ を一つ求めよ。

(2) $J=J_3$ として、(a) $\ker\theta_J,\ker\theta_J^2,\ker\theta_J^3$ の次元、(b) 最小多項式と固有多項式、(c) Jordan 標準形を求めよ。

(3) 任意の $A\in M_3(\mathbb C)$ に対して $AXA=A$ を満たす $X$ が存在することを示せ。

题目描述

在复矩阵空间上定义线性变换 $\theta_A(X)=AXA$，$J_d$ 为零特征值的 $d$ 阶 Jordan 块。

(1) 对 $A=J_2,J_3$，各找一个满足 $AXA=A$ 的 $X$。

(2) 对 $J=J_3$，求各次核 $\ker\theta_J,\ker\theta_J^2,\ker\theta_J^3$ 的维数、最小多项式、特征多项式以及 Jordan 标准形。

(3) 证明对每个 $3$ 阶复矩阵 $A$，方程 $AXA=A$ 有解。

Kai

(1)

それぞれ $X=J_2^{\mathsf T},J_3^{\mathsf T}$ とすればよい。実際、$J_dJ_d^{\mathsf T}J_d=J_d$。

(2)(a)

$X=(x_{ij})$ とすると

$$\theta_J(X)=\begin{pmatrix}0&x_{21}&x_{22}\\0&x_{31}&x_{32}\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad \theta_J^2(X)=\begin{pmatrix}0&0&x_{31}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad\theta_J^3=0.$$

従って核の次元は順に $5,8,9$。

(2)(b)

$\theta_J^3=0$、$\theta_J^2\ne0$ なので最小多項式は $\psi(t)=t^3$。$9$ 次元空間上のべき零変換なので固有多項式は $\phi(t)=t^9$。

(2)(c)

大きさがそれぞれ $1$ 以上、$2$ 以上、$3$ 以上のブロック数は、核の次元の差 $5,3,1$。従って大きさ $1,2,3$ のブロック数は $2,2,1$ であり、

$$J_3\oplus J_2\oplus J_2\oplus J_1\oplus J_1$$

が Jordan 標準形。

(3)

$r=\operatorname{rank}A$ とする。基本変形により、正則行列 $P,Q$ と $D=\operatorname{diag}(I_r,0)$ を用いて $A=PDQ$ と書ける。$D^3=D$ なので

$$X=Q^{-1}DP^{-1}$$

とおけば $AXA=PD^3Q=PDQ=A$。従って任意の $A$ について解が存在する。