千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2015年8月実施 専門 A0

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• Cardinality
• Mathematical-Induction

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(I) 対称差を $A\triangle B$ と表す。集合 $A,B,C$ に対して、次を示せ。

(a) $(A\cup C)\triangle(B\cup C)\subset(A\triangle B)\cup C$。

(b) 上の包含が等号となる必要十分条件は $C=\varnothing$。

(II) $A_2\subsetneq A_1$ とし、$f:A_1\to A_2$ は全単射とする。$a_1\in A_1\setminus A_2$ を選び、$a_{n+1}=f(a_n)$ と定める。このとき $g:\mathbb Z_+\to A_1$, $g(n)=a_n$ が単射であることを示せ。

题目描述

(I) $\triangle$ 表示对称差。

(a) 证明 $(A\cup C)\triangle(B\cup C)\subset(A\triangle B)\cup C$。

(b) 证明等号成立当且仅当 $C=\varnothing$。

(II) 若 $f:A_1\to A_2\subsetneq A_1$ 为双射，取 $a_1\in A_1\setminus A_2$，令 $a_{n+1}=f(a_n)$。证明 $n\mapsto a_n$ 是从正整数集到 $A_1$ 的单射。

Kai

(I)(a)

各元が両辺に属する条件を比較すると

$$(A\cup C)\triangle(B\cup C)=(A\triangle B)\setminus C\subset(A\triangle B)\cup C.$$

(I)(b)

左辺は $C$ と交わらず、右辺は $C$ を含む。従って等号が成り立てば $C=\varnothing$。逆に $C=\varnothing$ なら両辺は $A\triangle B$ に等しい。

(II)

$a_m=a_n$、$m<n$ と仮定する。$m\ge2$ なら単射性により $a_{m-1}=a_{n-1}$。これを反復して $a_1=a_{n-m+1}$ を得る。しかし $n-m+1\ge2$ なので右辺は $f(A_1)=A_2$ に属し、$a_1\notin A_2$ に矛盾する。従って $g$ は単射である。