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千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B9

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

n≥4n\ge4 とし、X,X1,…,XnX,X_1,\ldots,X_n は互いに独立で、未知パラメータ θ>0\theta>0 を含む密度

f(x)=1θx(1−θ)/θ(0<x<1)f(x)=\frac1\theta x^{(1-\theta)/\theta}\quad(0<x<1)

を持つとする。

(1) Y=−θ−1log⁡XY=-\theta^{-1}\log X の密度を求めよ。

(2) YY の期待値と分散を求めよ。

(3) V=−θ−1∑i=1nlog⁡XiV=-\theta^{-1}\sum_{i=1}^n\log X_i に中心極限定理を適用して、θ\theta の 95%95\% 近似信頼区間を求めよ。

题目描述​

设 n≥4n\ge4，X,X1,…,XnX,X_1,\ldots,X_n 相互独立，同密度为 f(x)=θ−1x(1−θ)/θf(x)=\theta^{-1}x^{(1-\theta)/\theta}（0<x<10<x<1），其中 θ>0\theta>0 未知。

(1) 求 Y=−θ−1log⁡XY=-\theta^{-1}\log X 的密度。

(2) 求 YY 的期望和方差。

(3) 当 nn 足够大时，对 V=−θ−1∑ilog⁡XiV=-\theta^{-1}\sum_i\log X_i 使用中心极限定理，求 θ\theta 的 95%95\% 近似置信区间。

Kai​

(1)​

x=e−θyx=e^{-\theta y}、∣dx/dy∣=θe−θy|dx/dy|=\theta e^{-\theta y} より

fY(y)=1θe−(1−θ)yθe−θy=e−y(y>0),f_Y(y)=\frac1\theta e^{-(1-\theta)y}\theta e^{-\theta y}=e^{-y}\quad(y>0),

それ以外は 00。従って Y∼Exp⁡(1)Y\sim\operatorname{Exp}(1)。

(2)​

部分積分により E(Y)=∫0∞ye−ydy=1E(Y)=\int_0^\infty ye^{-y}dy=1、E(Y2)=2E(Y^2)=2。よって Var⁡Y=1\operatorname{Var}Y=1。

(3)​

T=−∑ilog⁡Xi>0T=-\sum_i\log X_i>0 とおくと、V=T/θV=T/\theta は平均 11、分散 11 の独立同分布変数 nn 個の和である。中心極限定理より

T/θ−nn ∼近似N(0,1).\frac{T/\theta-n}{\sqrt n}\ \overset{\text{近似}}\sim N(0,1).

従って z0.975≃1.96z_{0.975}\simeq1.96 として

P(n−1.96n≤Tθ≤n+1.96n)≃0.95.P\left(n-1.96\sqrt n\le\frac T\theta\le n+1.96\sqrt n\right)\simeq0.95.

n≥4n\ge4 なら下側の定数も正なので、求める区間は

[−∑i=1nlog⁡Xin+1.96n,−∑i=1nlog⁡Xin−1.96n].\left[\frac{-\sum_{i=1}^n\log X_i}{n+1.96\sqrt n},\quad \frac{-\sum_{i=1}^n\log X_i}{n-1.96\sqrt n}\right].
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