千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2014年8月実施専門 B8

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$(\Omega,\mathcal F,P)$ を確率空間とする。

(1) 実数値関数 $X$ に対し、 $\mathcal G=\{X^{-1}(B):B\in\mathcal B(\mathbb R)\}$ が $\sigma$ 加法族であることを示し、 $X$ が確率変数となる条件を与えよ。

(2) 確率変数 $X,Y$ と実数 $a,b$ に対し、 $aX+bY$ も確率変数であることを示せ。

(3) 確率変数 $X$ に対し、 $\mu(B)=P(X^{-1}(B))$ が $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ 上の確率測度であることを示せ。

设 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 是概率空间。

(1) 对实值函数 $X$ ，证明 $\mathcal G=\{X^{-1}(B):B\in\mathcal B(\mathbb R)\}$ 为 $\sigma$ 代数，并给出 $X$ 为随机变量的条件。

(2) 证明随机变量的实线性组合 $aX+bY$ 仍为随机变量。

(3) 证明 $\mu(B)=P(X^{-1}(B))$ 在实数的 Borel 可测空间上定义概率测度。

$X^{-1}(\mathbb R)=\Omega$ であり、逆像は補集合と可算和に対して

\Omega\setminus X^{-1}(B)=X^{-1}(\mathbb R\setminus B),\qquad \bigcup_nX^{-1}(B_n)=X^{-1}\left(\bigcup_nB_n\right)

を満たす。Borel 集合族の $\sigma$ 加法性から $\mathcal G$ も $\sigma$ 加法族である。

$X$ が確率変数であるための必要十分条件は $\mathcal G\subset\mathcal F$ 。

$\omega\mapsto(X(\omega),Y(\omega))$ は可測である。実際、開長方形の逆像は可測集合の共通部分で、平面の開集合は有理端点の開長方形の可算和で表せる。連続写像 $(x,y)\mapsto ax+by$ と合成すれば、 $aX+bY$ も可測となる。

$\mu(B)\ge0$ 、 $\mu(\mathbb R)=P(\Omega)=1$ 。互いに素な Borel 集合 $B_n$ の逆像も互いに素なので、

\mu\left(\bigcup_nB_n\right)=P\left(\bigcup_nX^{-1}(B_n)\right) =\sum_nP(X^{-1}(B_n))=\sum_n\mu(B_n).

従って $\mu$ は確率測度である。