千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2014年8月実施専門 B7

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$c$ は実数とする。

(1) $y''-cy=0$ を解け。

(2) $y''-cy=e^{\sqrt c\,x}$ を解け。

(3) $y^{(3)}+(1+x)y''+xy'+y=0$ の解全体が複素ベクトル空間となることを示し、その次元を求めよ。

设 $c\in\mathbb R$ 。

(1) 解 $y''-cy=0$ 。

(2) 解 $y''-cy=e^{\sqrt c\,x}$ 。

(3) 证明 $y^{(3)}+(1+x)y''+xy'+y=0$ 的解空间为复向量空间，并求其维数。

特性方程式は $r^2-c=0$ 。従って一般解は

y(x)=\begin{cases} C_1e^{\sqrt c\,x}+C_2e^{-\sqrt c\,x}&c>0,\\ C_1+C_2x&c=0,\\ C_1\cos(\sqrt{-c}\,x)+C_2\sin(\sqrt{-c}\,x)&c<0. \end{cases}

$c\ne0$ では $a=\sqrt c$ とおく（ $c<0$ では $a=i\sqrt{-c}$ として複素数値解を考える）。

\left(\frac{d^2}{dx^2}-c\right)(xe^{ax})=2ae^{ax}

より、一般解は

y(x)=C_1e^{ax}+C_2e^{-ax}+\frac{x}{2a}e^{ax}\qquad(c\ne0).

$c=0$ では $y''=1$ なので

y(x)=\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2.

微分作用素 $L=D^3+(1+x)D^2+xD+1$ は複素線形であり、解全体は $\ker L$ なので複素ベクトル空間である。

任意の実数 $x_0$ に対して

y\longmapsto(y(x_0),y'(x_0),y''(x_0))\in\mathbb C^3

は線形写像。係数は全実軸上連続なので、線形常微分方程式の初期値問題の存在・一意性によりこれは全単射である。従って次元は $3$ 。