千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B6

标签：

• 赋范空间
• 有界线性算子

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実数値 $C^1[0,1]$ 上で

$$\|f\|_\infty=\max_{0\le t\le1}|f(t)|,\qquad (f,g)=f(0)g(0)+\int_0^1f'(t)g'(t)\,dt$$

と定める。

(1) $\|f\|_*=\sqrt{(f,f)}$ がノルムであることを示せ。

(2) 恒等写像 $(C^1,\|\cdot\|_*)\to(C^1,\|\cdot\|_\infty)$ が有界線形作用素であることを示し、そのノルムを求めよ。

(3)

$$f_n(t)=\begin{cases}1-n^2(t-1/n)^2&0\le t\le1/n,\\1&1/n<t\le1\end{cases}$$

について $\|f_n\|_\infty,\|f_n\|_*$ を求めよ。

(4) 逆向きの恒等写像が連続でないことを示せ。

题目描述

在实值函数空间 $C^1[0,1]$ 上定义

$$\|f\|_\infty=\max|f(t)|,\qquad (f,g)=f(0)g(0)+\int_0^1f'g',\qquad\|f\|_*=\sqrt{(f,f)}.$$

(1) 证明 $\|\cdot\|_*$ 是范数。

(2) 证明从星号范数到一致范数的恒等映射为有界线性算子，并求算子范数。

(3) 对

$$f_n(t)=\begin{cases}1-n^2(t-1/n)^2&0\le t\le1/n,\\1&1/n<t\le1\end{cases}$$

求两种范数。

(4) 证明反方向的恒等映射不连续。

Kai

(1)

$(f,g)$ は対称双線形形式で、$(f,f)\ge0$。$(f,f)=0$ なら $f(0)=0$、連続性から $f'\equiv0$ であり、$f\equiv0$。従って内積であり、Cauchy–Schwarz の不等式からその平方根はノルムとなる。

(2)

積分表示と Cauchy–Schwarz の不等式より

$$|f(x)|=\left|f(0)+\int_0^xf'(t)\,dt\right| \le\sqrt{1+x}\left(f(0)^2+\int_0^1f'(t)^2\,dt\right)^{1/2} \le\sqrt2\|f\|_*.$$

恒等写像は線形なので有界である。$f(t)=1+t$ では $\|f\|_\infty=2,\|f\|_*=\sqrt2$ となるため、作用素ノルムは $\sqrt2$。

(3)

$f_n$ は $0$ から $1$ まで単調増加し、その後一定なので $\|f_n\|_\infty=1$。また $f_n(0)=0$ より

$$\|f_n\|_*^2=\int_0^{1/n}4n^4(t-1/n)^2\,dt=\frac{4n}{3},\qquad \|f_n\|_*=2\sqrt{\frac n3}.$$

(4)

$g_n=f_n/\sqrt n$ とおけば、$\|g_n\|_\infty=1/\sqrt n\to0$ だが $\|g_n\|_*=2/\sqrt3$。従って逆向きの恒等写像は原点で連続でない。