千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B5

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• Cauchy-Integral-Formula

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$f$ は閉単位円板の近傍で正則とする。$|z|<1$ に対して、次を示せ（円周は正の向き）。

(1)

$$f(z)(1-|z|^2)=\frac1{2\pi i}\int_{|\tau|=1}\frac{1-\overline z\tau}{\tau-z}f(\tau)\,d\tau.$$

(2)

$$|f(z)|(1-|z|^2)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|\,d\theta.$$

题目描述

设 $f$ 在闭单位圆盘的某邻域内全纯。对 $|z|<1$ 证明（积分路径取正向）：

(1)

$$f(z)(1-|z|^2)=\frac1{2\pi i}\int_{|\tau|=1}\frac{1-\overline z\tau}{\tau-z}f(\tau)\,d\tau.$$

(2)

$$|f(z)|(1-|z|^2)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|\,d\theta.$$

Kai

(1)

$$\frac{1-\overline z\tau}{\tau-z}=-\overline z+\frac{1-|z|^2}{\tau-z}.$$

従って Cauchy の積分定理と積分公式から

$$\frac1{2\pi i}\int_{|\tau|=1}\frac{1-\overline z\tau}{\tau-z}f(\tau)\,d\tau =-\frac{\overline z}{2\pi i}\int_{|\tau|=1}f(\tau)\,d\tau+(1-|z|^2)f(z) =(1-|z|^2)f(z).$$

(2)

$|\tau|=1$ 上では $1-\overline z\tau=\tau\overline{(\tau-z)}$ なので、その商の絶対値は $1$。(1) の絶対値を評価し、$\tau=e^{i\theta}$ と置けば

$$|f(z)|(1-|z|^2)\le\frac1{2\pi}\int_{|\tau|=1}|f(\tau)|\,|d\tau| =\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|\,d\theta.$$