千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B4

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• 单纯同调与胞腔同调

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$C_i=\mathbb Z\sigma_i$（$i=0,1,2$）、その他の $C_i=0$ とする。

(1) $\partial_1\sigma_1=0,\partial_2\sigma_2=3\sigma_1$、その他の境界作用素は零である鎖複体 $C_*$ の $H_i(C_*)$（$i=0,1,2$）を求めよ。図は、三角形の三頂点を全て $\sigma_0$、三辺を境界の巡回方向に同じ $\sigma_1$ としたものである。

(2) 三辺のうち一辺の向きを逆にした鎖複体 $C'_*$ の $H_i(C'_*)$（$i=0,1,2$）を求めよ。

(3) (1) の係数を $\mathbb Z/3\mathbb Z$ に変えた鎖複体 $C''_*$ の $H_i(C''_*)$（$i=0,1,2$）を求めよ。

题目描述

令 $C_i=\mathbb Z\sigma_i$（$i=0,1,2$），其余次数为零。

(1) 边界算子为 $\partial_1\sigma_1=0,\partial_2\sigma_2=3\sigma_1$，求 $0,1,2$ 次同调群。图中三角形的三个顶点均识别为 $\sigma_0$，三条边沿边界循环方向均为 $\sigma_1$。

(2) 将图中一条边的方向反转，求所得链复形的同调群。

(3) 将 (1) 的系数改为 $\mathbb Z/3\mathbb Z$，求同调群。

Kai

(1)

鎖複体は

$$0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times3}\mathbb Z\xrightarrow{0}\mathbb Z\longrightarrow0.$$

$H_i=\ker\partial_i/\operatorname{im}\partial_{i+1}$ より

$$H_0(C_*)=\mathbb Z,\qquad H_1(C_*)=\mathbb Z/3\mathbb Z,\qquad H_2(C_*)=0.$$

(2)

一辺の反転により $\partial_2\sigma_2=(1+1-1)\sigma_1=\sigma_1$。従って $\partial_2$ は同型であり、

$$H_0(C'_*)=\mathbb Z,\qquad H_1(C'_*)=0,\qquad H_2(C'_*)=0.$$

(3)

$\mathbb Z/3\mathbb Z$ 上では $\times3=0$ なので全ての境界作用素が零となり、

$$H_i(C''_*)=\mathbb Z/3\mathbb Z\qquad(i=0,1,2).$$