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千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

写像

f~(x,y,z)=(x2−y21+z2,2xy1+z2,2z1+z2)\widetilde f(x,y,z)=\left(\frac{x^2-y^2}{1+z^2},\frac{2xy}{1+z^2},\frac{2z}{1+z^2}\right)

の S2={x2+y2+z2=1}S^2=\{x^2+y^2+z^2=1\} への制限を f:S2→S2f:S^2\to S^2 とする。U=S2∖{(0,0,1)}U=S^2\setminus\{(0,0,1)\} の座標

φ(x,y,z)=(x1−z,y1−z)=(u,v),φ−1(u,v)=(2ur2+1,2vr2+1,r2−1r2+1),r=u2+v2\varphi(x,y,z)=\left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right)=(u,v),\qquad \varphi^{-1}(u,v)=\left(\frac{2u}{r^2+1},\frac{2v}{r^2+1},\frac{r^2-1}{r^2+1}\right),\quad r=\sqrt{u^2+v^2}

が正になる向きを S2S^2 に入れる。α\alpha は S2S^2 上の 22 次微分形式で、UU 上で g(r) du∧dvg(r)\,du\wedge dv と表されるとする。

(1) f∗αf^*\alpha を UU 上で表せ。

(2) In=∫S2(f∗)nαI_n=\int_{S^2}(f^*)^n\alpha を I0I_0 で表せ。

(3) g(r)=(1+r2)−2g(r)=(1+r^2)^{-2} のとき、InI_n を求めよ。

题目描述​

设球面映射 ff 是上述 f~\widetilde f 在单位球面 S2S^2 上的限制。去掉北极后采用上述球极投影坐标 (u,v)(u,v)，并以此规定正定向，r=u2+v2r=\sqrt{u^2+v^2}。球面上的二次微分形式 α\alpha 在此坐标下为 g(r) du∧dvg(r)\,du\wedge dv。

(1) 求拉回形式 f∗αf^*\alpha 的坐标表达式。

(2) 令 In=∫S2(f∗)nαI_n=\int_{S^2}(f^*)^n\alpha，用 I0I_0 表示 InI_n。

(3) 当 g(r)=(1+r2)−2g(r)=(1+r^2)^{-2} 时求 InI_n。

Kai​

(1)​

1−2z/(1+z2)=(1−z)2/(1+z2)1-2z/(1+z^2)=(1-z)^2/(1+z^2) より

F:=φ∘f∘φ−1,F(u,v)=(u2−v2,2uv).F:=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1},\qquad F(u,v)=(u^2-v^2,2uv).

従って ∣F(u,v)∣=r2|F(u,v)|=r^2、det⁡DF=4(u2+v2)=4r2\det DF=4(u^2+v^2)=4r^2 であり、

f∗α=4r2g(r2) du∧dv.f^*\alpha=4r^2g(r^2)\,du\wedge dv.

(2)​

極座標と s=r2s=r^2 の置換により

∫S2f∗α=2π∫0∞4r3g(r2) dr=2⋅2π∫0∞sg(s) ds=2∫S2α.\int_{S^2}f^*\alpha =2\pi\int_0^\infty4r^3g(r^2)\,dr =2\cdot2\pi\int_0^\infty s g(s)\,ds =2\int_{S^2}\alpha.

北極一つの除去は積分に影響しない。引き戻し後も同じ放射対称な形なので、反復して

In=2nI0.I_n=2^nI_0.

(3)​

I0=2π∫0∞r(1+r2)2 dr=π,In=2nπ.I_0=2\pi\int_0^\infty\frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr=\pi, \qquad I_n=2^n\pi.
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