千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2014年8月実施専門 B2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$R$ を可換 Noether 環、 $I$ をそのイデアルとし、 $I:_Rx=\{a\in R:ax\in I\}$ と定める。

(1) $I:_Rx$ がイデアルであることを示せ。

(2) $I:_Rx^n$ と $I:_Rx^{n+1}$ の包含関係を答えよ。

(3) 十分大きな $n$ について両者が等しくなることを示せ。

(4) $I=Q_1\cap\cdots\cap Q_r$ を準素分解とし、

P_i=\sqrt{Q_i}=\{a\in R:a^m\in Q_i\text{ となる正整数 }m\text{ が存在する}\}

とおく。 $x\in P_1$ かつ $x\notin P_2\cup\cdots\cup P_r$ のとき、十分大きな $n$ について $I:_Rx^n$ の準素分解を与えよ。

ここで、真のイデアル $Q$ が準素であるとは、 $ab\in Q,a\notin Q$ ならば、ある正整数 $m$ について $b^m\in Q$ となることをいう。

设 $R$ 为交换 Noether 环， $I$ 为理想，定义 $I:_Rx=\{a:ax\in I\}$ 。

(1) 证明 $I:_Rx$ 是理想。

(2) 比较 $I:_Rx^n$ 与 $I:_Rx^{n+1}$ 的包含关系。

(3) 证明充分大的 $n$ 时两者相等。

(4) 若 $I=Q_1\cap\cdots\cap Q_r$ 是准素分解， $P_i=\sqrt{Q_i}$ ，且 $x\in P_1$ 、 $x\notin P_2\cup\cdots\cup P_r$ ，求充分大的 $n$ 时 $I:_Rx^n$ 的准素分解。

准素理想的定义：真理想 $Q$ 满足， $ab\in Q$ 且 $a\notin Q$ 时，存在正整数 $m$ 使 $b^m\in Q$ 。

$0\in I:_Rx$ 。 $a,b\in I:_Rx$ 、 $r\in R$ なら

(a-b)x=ax-bx\in I,\qquad (ra)x=r(ax)\in I.

よってイデアルである。

$ax^n\in I$ なら $ax^{n+1}=x(ax^n)\in I$ なので

I:_Rx^n\subset I:_Rx^{n+1}.

これらはイデアルの昇鎖をなす。Noether 性よりある $N$ 以降で安定するので、 $n\ge N$ なら $I:_Rx^n=I:_Rx^{n+1}$ 。

$x\in\sqrt{Q_1}$ より、ある $N$ について $x^N\in Q_1$ 。したがって $n\ge N$ では $Q_1:_Rx^n=R$ 。

$i\ge2$ について、 $ax^n\in Q_i$ かつ $a\notin Q_i$ なら準素性から $x^{nm}\in Q_i$ となる $m$ が存在し、 $x\in P_i$ となって矛盾する。よって $Q_i:_Rx^n=Q_i$ 。

コロン演算は有限共通部分と可換なので

I:_Rx^n=\bigcap_{i=1}^r(Q_i:_Rx^n)=Q_2\cap\cdots\cap Q_r\qquad(n\ge N).

これが求める準素分解である。 $r=1$ の場合は空の共通部分を $R$ と読む。