千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 B1

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• Sylow-Subgroups-and-Normalizers

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$G=A_5$、$P$ をその Sylow $5$ 部分群とし、$N_G(P)=\{g\in G:g^{-1}Pg=P\}$ とおく。

(1) $P$ とは異なる Sylow $5$ 部分群が存在することを示せ。

(2) 指数 $|G:N_G(P)|$ を求めよ。

(3) $G$ の位数 $5$ の元の個数を求めよ。

(4) $u,v\in P\setminus\{1\}$ と $g\in G$ が $v=g^{-1}ug$ を満たせば、$g\in N_G(P)$ であることを示せ。

题目描述

设 $G=A_5$，$P$ 为一个 Sylow $5$ 子群，$N_G(P)=\{g\in G:g^{-1}Pg=P\}$。

(1) 证明存在异于 $P$ 的 Sylow $5$ 子群。

(2) 求 $|G:N_G(P)|$。

(3) 求 $G$ 中 $5$ 阶元素的个数。

(4) 若 $u,v\in P\setminus\{1\}$ 且 $v=g^{-1}ug$，证明 $g\in N_G(P)$。

Kai

$|A_5|=60$ なので Sylow $5$ 部分群の位数は $5$ であり、非単位元は全て $5$ サイクルである。

(1)・(3)

$5$ サイクルは全て偶置換で、その個数は $5!/5=24$。一つの位数 $5$ の群は非単位元を $4$ 個しか持たないので、$P$ に属さない $5$ サイクル $u$ が存在する。$\langle u\rangle$ が求める Sylow 部分群である。また、位数 $5$ の元の個数は $24$。

(2)

異なる位数 $5$ の部分群は単位元以外で交わらず、各群は $4$ 個の非単位元を持つ。したがって Sylow $5$ 部分群は $24/4=6$ 個。Sylow の共役定理と軌道・安定化群の公式より

$$|G:N_G(P)|=6.$$

(4)

$u,v$ はいずれも $P$ の生成元なので

$$g^{-1}Pg=g^{-1}\langle u\rangle g=\langle g^{-1}ug\rangle=\langle v\rangle=P.$$

よって $g\in N_G(P)$。