千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 A4

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• Binomial-Distribution
• Correlation-Coefficient

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

表の確率が $p\in(0,1)$ のコインを $n$ 枚投げ、表の枚数を $X$ とする。その $X$ 枚を再び投げ、裏の枚数を $Y$ とする。

(1) $P(X=i,Y=j)$ を求めよ。

(2) $Y$ の周辺分布が二項分布であることを示せ。

(3) $E(XY\mid X)$ を求めよ。

(4) 相関係数 $r(X,Y)$ を求めよ。

题目描述

将正面概率为 $p\in(0,1)$ 的 $n$ 枚硬币同时抛掷，正面数记作 $X$。再将这 $X$ 枚硬币抛一次，反面数记作 $Y$。

(1) 求联合概率 $P(X=i,Y=j)$。

(2) 证明 $Y$ 服从二项分布。

(3) 求条件期望 $E(XY\mid X)$。

(4) 求 $X,Y$ 的相关系数。

Kai

$q=1-p$ とおく。$X\sim\operatorname{Bin}(n,p)$、$Y\mid(X=i)\sim\operatorname{Bin}(i,q)$ である。

(1)

$$P(X=i,Y=j)=\binom ni\binom ijp^{2i-j}q^{n-i+j}\quad(0\le j\le i\le n),$$

それ以外は $0$。

(2)

各コインが「初回表、次回裏」となる確率は $pq$ であり、コイン間で独立である。よって

$$Y\sim\operatorname{Bin}(n,pq),\qquad P(Y=j)=\binom nj(pq)^j(1-pq)^{n-j}.$$

(3)

$$E(XY\mid X)=X E(Y\mid X)=qX^2.$$

(4)

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(X,E(Y\mid X)) =q\operatorname{Var}X=npq^2.$$

$\operatorname{Var}X=npq$、$\operatorname{Var}Y=npq(1-pq)$ なので

$$r(X,Y)=\frac{q}{\sqrt{1-pq}}=\frac{1-p}{\sqrt{1-p+p^2}}.$$