千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 A3

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• Hausdorff-Closure-and-Connectedness-in-a-Custom-Topology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\mathbb R^2$ の通常の位相を $\mathcal O$ とする。射影 $\pi_1(x,y)=x,\pi_2(x,y)=y$ により $\mathbb R$ の通常の位相から誘導される位相を $\mathcal O_1,\mathcal O_2$ とする。

$$X=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\cup\{(x,(1+x^2)^{-1}):x\in\mathbb R\}$$

に、それぞれの部分位相 $\mathcal O(X),\mathcal O_1(X),\mathcal O_2(X)$ を入れる。

(1) $\mathcal O(X)$ の開集合を三つ挙げよ。

(2) $\mathcal O_1(X)$ の開集合を三つ挙げよ。

(3) 三つの空間のうち非連結なものを全て挙げ、証明せよ。

(4) ハウスドルフでないものを全て挙げ、証明せよ。

题目描述

令 $\mathcal O$ 为平面的通常拓扑；$\mathcal O_1,\mathcal O_2$ 分别是由横、纵坐标投影从实数通常拓扑诱导的拓扑。令

$$X=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\cup\{(x,(1+x^2)^{-1}):x\in\mathbb R\}.$$

(1) 举出通常子空间拓扑下的三个开集。

(2) 举出 $\mathcal O_1$ 所诱导子空间拓扑下的三个开集。

(3) 判断三种拓扑中哪些不连通，并证明。

(4) 判断哪些不是豪斯多夫空间，并证明。

Kai

$L=\{(x,0):x\in\mathbb R\}$、$C=\{(x,(1+x^2)^{-1}):x\in\mathbb R\}$ とおく。

(1)

例えば $L,C,X\cap\{|x|<1\}$。実際、

$$L=X\cap\{y<(1+x^2)^{-1}\},\qquad C=X\cap\{y>0\}$$

であり、右辺の平面内の集合はいずれも開集合である。

(2)

例えば

$$X\cap\{x<0\},\qquad X\cap\{x>0\},\qquad X\cap\{|x|<1\}.$$

(3)

非連結なのは $(X,\mathcal O(X))$ のみ。$X=L\sqcup C$ が非空な開集合への分離である。

他の二つの位相では、開集合は $\pi_i|_X$ の逆像であり、その像はそれぞれ $\mathbb R,[0,1]$ である。仮に $X$ が二つの非空開集合に分離されれば、逆像が各繊維を丸ごと含むことから、その像も $\mathbb R$ または $[0,1]$ の非空開集合への分離となる。両者は連結なので矛盾する。

(4)

$(X,\mathcal O_1(X))$ では $(0,0),(0,1)$ が同じ開近傍を持つ。$(X,\mathcal O_2(X))$ では $(0,0),(1,0)$ が同じ開近傍を持つ。したがって、これら二つはハウスドルフでない。

$(X,\mathcal O(X))$ はハウスドルフ空間 $\mathbb R^2$ の部分空間なのでハウスドルフである。