千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 A2

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• 泰勒级数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $h(x)=(1-x)^{-1/2}$、(2) $g(x)=(1-x^2)^{-1/2}$、(3) $f(x)=\arcsin x$ をそれぞれマクローリン展開し、収束半径を求めよ。

(4) $(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots1$ として、次を示せ。

$$\pi=3\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^{3n}n!(2n+1)}\right).$$

题目描述

(1) 求 $h(x)=(1-x)^{-1/2}$ 的麦克劳林展开及收敛半径。

(2) 对 $g(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ 做同样计算。

(3) 对 $f(x)=\arcsin x$ 做同样计算。

(4) 证明

$$\pi=3\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^{3n}n!(2n+1)}\right),\qquad (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots1.$$

Kai

(1)

$h^{(n)}(0)=(2n-1)!!/2^n$ より、二項級数は

$$h(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}x^n =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}x^n.$$

係数の隣接比が $(2n+1)/(2n+2)\to1$ なので、収束半径は $1$。

(2)

(1) に $x^2$ を代入して

$$g(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}x^{2n},\qquad |x|<1.$$

収束半径は $1$。

(3)

$f(0)=0,f'=g$ より、収束円内で項別積分して

$$\arcsin x=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^nn!(2n+1)}x^{2n+1}.$$

項別積分で収束半径は変わらないので $1$。

(4)

(3) に $x=1/2$ を代入すると

$$\frac\pi6=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^{3n+1}n!(2n+1)}.$$

両辺を $6$ 倍すればよい。