千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 A1

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• Matrix-Determinant
• Kernel-and-Image

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$A$ を $n\times(n+1)$ 行列とし、第 $j$ 列を除いた $n$ 次正方行列を $A_j$、$d_j=(-1)^{j-1}\det A_j$ とおく。

(1) $\operatorname{rank}A\le n-1$ のとき、全ての $d_j$ を求めよ。

(2) 最上段が全て $1$、残りの $n$ 行が $A$ である $(n+1)$ 次行列 $B$ の行列式を $d_j$ で表せ。

(3) $Ax=0$ を満たす $x=(x_1,\ldots,x_{n+1})^{\mathsf T}$ に対して、各 $j$ について

$$x_j\sum_{k=1}^{n+1}d_k=\left(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\right)d_j$$

を示せ。

题目描述

设 $A$ 是 $n\times(n+1)$ 矩阵，删去第 $j$ 列所得方阵为 $A_j$，令 $d_j=(-1)^{j-1}\det A_j$。

(1) 当 $\operatorname{rank}A\le n-1$ 时求各 $d_j$。

(2) 在 $A$ 上方添加一行全为 $1$ 的行向量，所得方阵为 $B$。用 $d_j$ 表示 $\det B$。

(3) 若 $Ax=0$，证明对各 $j$，$x_j\sum_kd_k=(\sum_kx_k)d_j$。

Kai

(1)

$\operatorname{rank}A_j\le\operatorname{rank}A<n$ より、全ての $j$ について $d_j=0$。

(2)

第 $1$ 行に関する余因子展開から

$$\det B=\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{1+j}\det A_j=\sum_{j=1}^{n+1}d_j.$$

(3)

$s=\sum_jx_j$ とおくと、$Bx=se_1$。余因子行列 $\operatorname{adj}B$ を左から掛けると

$$(\det B)x=s\operatorname{adj}(B)e_1=s(d_1,\ldots,d_{n+1})^{\mathsf T}.$$

第 $j$ 成分を比較し、(2) を用いれば所望の等式を得る。この議論は $\det B=0$ の場合にも成り立つ。