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千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2014年8月実施 専門 A0

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

集合 X,YX,Y、写像 f:X→Yf:X\to Y、部分集合 A⊂X,B⊂YA\subset X,B\subset Y を考える。f−1f^{-1} は逆像、補集合はそれぞれ X,YX,Y において取る。

(1) 次の各命題について、正しければ証明し、誤りなら反例を与えよ。

(a) f(f−1(B))=B,(b) f−1(f(A))=A,(c) f−1(Bc)=(f−1(B))c,(d) f(Ac)=(f(A))c.\begin{array}{ll} \text{(a)}\ f(f^{-1}(B))=B,&\text{(b)}\ f^{-1}(f(A))=A,\\ \text{(c)}\ f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c,&\text{(d)}\ f(A^c)=(f(A))^c. \end{array}

(2) (i) ff が単射、(ii) ff が全射、という各仮定の下で各命題を再検討し、成立するものは証明し、不成立のものは仮定を満たす反例を与えよ。

题目描述​

设 f:X→Yf:X\to Y，A⊂X,B⊂YA\subset X,B\subset Y，补集分别相对于 X,YX,Y。

(1) 判断下列命题，对正确者证明，对错误者举反例：

(a) f(f−1(B))=B,(b) f−1(f(A))=A,(c) f−1(Bc)=(f−1(B))c,(d) f(Ac)=(f(A))c.\text{(a) }f(f^{-1}(B))=B,\quad \text{(b) }f^{-1}(f(A))=A,\quad \text{(c) }f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c,\quad \text{(d) }f(A^c)=(f(A))^c.

(2) 分别额外假设 ff 为单射、满射，重新判断，并给出证明或满足相应假设的反例。

Kai​

(1)​

(a), (b), (d) は一般には誤りで、(c) は常に正しい。

  • (a)：X={0},Y={0,1},f(0)=0,B=YX=\{0\},Y=\{0,1\},f(0)=0,B=Y とすると、左辺は {0}\{0\}。
  • (b)：X={0,1},Y={0},f(0)=f(1)=0,A={0}X=\{0,1\},Y=\{0\},f(0)=f(1)=0,A=\{0\} とすると、左辺は XX。
  • (d)：上の (b) の例では、f(Ac)={0}f(A^c)=\{0\}、(f(A))c=∅(f(A))^c=\varnothing。

(c) は各 x∈Xx\in X について

x∈f−1(Bc)  ⟺  f(x)∉B  ⟺  x∉f−1(B)x\in f^{-1}(B^c)\iff f(x)\notin B\iff x\notin f^{-1}(B)

より従う。

(2)​

(i) 単射の場合、(b) が成立する。実際、x∈f−1(f(A))x\in f^{-1}(f(A)) なら、ある a∈Aa\in A について f(x)=f(a)f(x)=f(a) であり、単射性から x=a∈Ax=a\in A。逆の包含は常に成り立つ。(c) も引き続き成立する。

(a) には (1)(a) の単射が反例となる。(d) には同じ単射で A=XA=X とすれば、左辺は空集合、右辺は {1}\{1\} となる。

(ii) 全射の場合、

f(f−1(B))=B∩f(X)=Bf(f^{-1}(B))=B\cap f(X)=B

なので (a) が成立する。(c) も成立する。(b), (d) には (1)(b) の全射がそのまま反例となる。

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