千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B8

标签：

• Independence-of-Random-Variables
• Borel-Cantelli-Lemmas

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\Omega=[0,1]$、$\mathcal F$ をボレル集合族、$P$ をルベーグ測度とする。

(1) 正整数 $n$ に対し、独立な事象 $A_1,\ldots,A_n$ の例を与えよ。

(2) $A_1,A_2,A_3$ がどの二つをとっても独立ならば、三つは独立か。証明または反例を与えよ。

(3) $\sum_{j\ge1}P(A_j)<\infty$ ならば $P(\bigcap_{k\ge1}\bigcup_{j\ge k}A_j)=0$ を示せ。

(4) $A_j$ が独立で $\sum_{j\ge1}P(A_j)=\infty$ ならば $P(\bigcap_{k\ge1}\bigcup_{j\ge k}A_j)=1$ を示せ。

题目描述

在 $[0,1]$ 的 Borel 概率空间上以 Lebesgue 测度为概率。(1) 构造 $n$ 个相互独立事件。(2) 判断三个两两独立事件是否必然相互独立，并证明或反驳。(3) 证明事件概率之和有限时，事件无穷多次发生的概率为零。(4) 证明独立事件概率之和无穷时，无穷多次发生的概率为一。

Kai

(1)

第 $j$ 桁の二進数字が $1$ となる事象

$$A_j=\bigcup_{k=0}^{2^{j-1}-1} \left[\frac{2k+1}{2^j},\frac{2k+2}{2^j}\right) \quad(1\le j\le n)$$

をとる。任意の異なる $r$ 個の桁を指定すると、その共通部分は長さ $2^{-n}$ の区間 $2^{n-r}$ 個の和である。したがって確率は $2^{-r}=\prod P(A_j)$ となり、独立である。

(2)

独立とは限らない。$A_1=[0,1/2)$、$A_2=[0,1/4)\cup[1/2,3/4)$、$A_3=[0,1/4)\cup[3/4,1)$ とする。各確率は $1/2$、各二つの共通部分の確率は $1/4$ だが、三つの共通部分の確率は $1/4\ne1/8$ である。

(3)

$B=\bigcap_k\bigcup_{j\ge k}A_j$ とおく。すべての $k$ について

$$P(B)\le\sum_{j\ge k}P(A_j)\longrightarrow0.$$

よって $P(B)=0$。

(4)

独立性と $1-u\le e^{-u}$ により、固定した $k$ に対して

$$P\left(\bigcap_{j=k}^N A_j^c\right) =\prod_{j=k}^N(1-P(A_j)) \le\exp\left(-\sum_{j=k}^NP(A_j)\right)\longrightarrow0.$$

測度の上からの連続性から $P(\bigcap_{j\ge k}A_j^c)=0$。したがって $B^c=\bigcup_k\bigcap_{j\ge k}A_j^c$ の確率は $0$、ゆえに $P(B)=1$。