千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B7

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$H(\xi,\eta)=\tfrac12(\xi+\eta)^2+\tfrac14\xi^4$、$V(x,y)=\tfrac14(x^2+y^2)^2$ とする。次の方程式系を考える。

$$\text{(I)}\quad \dot\xi=H_\eta,\quad\dot\eta=-H_\xi, \qquad \text{(II)}\quad \dot x=-V_x,\quad\dot y=-V_y.$$

(1) (I) の解に沿って $F(t)=H(\xi(t),\eta(t))$ が $F'=0$ を満たすことを示せ。

(2) (I) の解が $t\to\infty$ で原点に収束するなら、すべての $t\ge0$ で原点に等しいことを示せ。

(3) (II) の解に沿う $G(t)=V(x(t),y(t))$ の微分方程式を求めよ。

(4) (II) の解は $t\to\infty$ で原点に収束することを示せ。

题目描述

设 $H(\xi,\eta)=\frac12(\xi+\eta)^2+\frac14\xi^4$、$V(x,y)=\frac14(x^2+y^2)^2$，考虑上述 Hamilton 系统 (I) 和负梯度系统 (II)。(1) 证明 (I) 沿解保持 $H$ 不变。(2) 证明 (I) 只有零解能在正无穷收敛到原点。(3) 求 (II) 中 $G(t)=V(x(t),y(t))$ 满足的微分方程。(4) 证明 (II) 的每个解都趋于原点。

Kai

(1), (2)

$$F'=H_\xi\dot\xi+H_\eta\dot\eta=H_\xi H_\eta-H_\eta H_\xi=0.$$

原点に収束するならば $F(t)=\lim_{s\to\infty}F(s)=H(0,0)=0$ である。$H\ge0$ であり、$H=0$ は $\xi=\eta=0$ と同値なので (2) が従う。

(3)

$V_x=x(x^2+y^2)$、$V_y=y(x^2+y^2)$ より

$$G'=-|\nabla V|^2=-(x^2+y^2)^3=\boxed{-8G^{3/2}}.$$

(4)

$R(t)=x(t)^2+y(t)^2$ とおくと $R'=-2R^2$ だから

$$R(t)=\frac{R(0)}{1+2R(0)t}\longrightarrow0.$$

$R(0)=0$ の場合も零解となる。解は有界であり、右辺は滑らかなので、任意の $t\ge0$ まで延長できる。したがって $(x(t),y(t))\to(0,0)$。