千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B6

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• Interchange-of-Limit-Derivative-and-Integral

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$L^1(\mathbb R)$ をルベーグ可積分関数の集合とする。

(1) $f,f^3\in L^1(\mathbb R)$ ならば $f^2\in L^1(\mathbb R)$ を示せ。

(2) 同じ仮定の下で、$\lim_{p\to2}\int_{\mathbb R}|f(x)|^pdx=\int_{\mathbb R}|f(x)|^2dx$ を示せ。

(3) 正整数 $n$ を固定し、$f(x)=e^{-|x|^n}$ とおく。$g(p)=\int_{\mathbb R}|f(x)|^pdx$ ($p>0$) は微分可能であることを示せ。

题目描述

(1) 若 $f,f^3$ 都在实直线上 Lebesgue 可积，证明 $f^2$ 可积。(2) 在相同假设下证明 $\int|f|^p$ 当 $p\to2$ 时趋于 $\int|f|^2$。(3) 固定正整数 $n$，令 $f(x)=e^{-|x|^n}$，证明 $g(p)=\int|f|^p$ 在 $p>0$ 上可微。

Kai

(1), (2)

$1\le p\le3$ に対して

$$|f|^p\le |f|\,\mathbf1_{\{|f|\le1\}}+|f|^3\,\mathbf1_{\{|f|>1\}} \le |f|+|f|^3.$$

右辺は可積分なので、$p=2$ とすれば (1) を得る。また $|f(x)|^p\to|f(x)|^2$ はほとんど至る所成立するから、優収束定理により (2) を得る。

(3)

$u=p^{1/n}x$ と変数変換すると

$$g(p)=2p^{-1/n}\int_0^\infty e^{-u^n}\,du=C_np^{-1/n}.$$

$n\ge1$ より $u\ge1$ で $e^{-u^n}\le e^{-u}$ だから $0<C_n<\infty$ である。したがって $p>0$ で微分可能であり、

$$g'(p)=-\frac{C_n}{n}p^{-1/n-1}.$$