千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B5

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$r>0$ とし、$C_r$ を $z=re^{i\theta}$、$0\le\theta\le\pi$ の向き付けられた半円弧とする。

(1) 原点近傍で正則かつ $f(0)=1$ である $f$ に対し、$\lim_{r\downarrow0}\int_{C_r}f(z)/z\,dz$ を求めよ。

(2) $\lim_{r\to\infty}\int_{C_r}e^{iz}/z\,dz=0$ を示せ。

(3) 広義積分 $\int_0^\infty\sin x/x\,dx$ を求めよ。

题目描述

令 $C_r$ 为从 $r$ 逆时针到 $-r$ 的上半圆弧。(1) 若 $f$ 在原点附近全纯且 $f(0)=1$，求小半圆上 $f(z)/z$ 的积分极限。(2) 证明大半圆上 $e^{iz}/z$ 的积分趋于零。(3) 求 Dirichlet 积分 $\int_0^\infty\sin x/x\,dx$。

Kai

(1)

$$\int_{C_r}\frac{f(z)}z\,dz=i\int_0^\pi f(re^{i\theta})\,d\theta\longrightarrow\boxed{i\pi}.$$

ここで $f(re^{i\theta})\to1$ は $\theta$ について一様である。

(2)

$0\le\theta\le\pi/2$ で $\sin\theta\ge2\theta/\pi$ より

$$\left|\int_{C_r}\frac{e^{iz}}z\,dz\right| \le\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}\,d\theta \le2\int_0^{\pi/2}e^{-2r\theta/\pi}\,d\theta =\frac\pi r(1-e^{-r})\longrightarrow0.$$

(3)

原点を半径 $\varepsilon$ の小半円で避けた上半円環の境界にコーシーの定理を適用すると

$$\int_{-R}^{-\varepsilon}\frac{e^{ix}}x\,dx+ \int_\varepsilon^R\frac{e^{ix}}x\,dx =\int_{C_\varepsilon}\frac{e^{iz}}z\,dz- \int_{C_R}\frac{e^{iz}}z\,dz.$$

左辺は $2i\int_\varepsilon^R\sin x/x\,dx$ である。(1), (2) より

$$\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,dx=\frac\pi2}.$$

原点では被積分関数を連続に延長でき、無限遠では部分積分により尾積分が収束するため、これは通常の広義積分である。