千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B4

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• 单纯同调与胞腔同调

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1),D=(-1,0,0)$ とする。$K$ は四面体 $OABC$ のすべての $2$ 次元以下の面からなる単体複体である。$L$ は頂点 $O,B,D$ と辺 $BD,OD$ からなる単体複体である。$K\cup L$ の整係数ホモロジー群を求めよ。

题目描述

取上述五点。$K$ 是四面体 $OABC$ 的边界复形（全部顶点、边和三角面），$L$ 由顶点 $O,B,D$ 及两条边 $BD,OD$ 构成。求 $K\cup L$ 的整数系数同调群。

Kai

$K$ は球面 $S^2$ の三角形分割であり、$L$ は $O$ と $B$ を結ぶ区間である。また $K\cap L=\{O,B\}$ である。Mayer–Vietoris 完全列より

$$H_2(K\cup L;\mathbb Z)\cong H_2(K;\mathbb Z)\cong\mathbb Z.$$

低次の部分は

$$0\longrightarrow H_1(K\cup L;\mathbb Z) \longrightarrow\mathbb Z^2 \xrightarrow{\ (a,b)\mapsto(a+b,-a-b)\ } \mathbb Z^2 \longrightarrow H_0(K\cup L;\mathbb Z)\longrightarrow0.$$

中央の写像の核は $\mathbb Z(1,-1)$、余核は $\mathbb Z$ である。したがって

$$\boxed{ H_k(K\cup L;\mathbb Z)= \begin{cases}\mathbb Z,&k=0,1,2,\\0,&k\ge3.\end{cases}}$$

$H_1$ の生成元は辺の閉路 $O\to B\to D\to O$、$H_2$ の生成元は四面体の向き付けられた境界である。