千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B3

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$a,b>0$ とし、向き付けられた楕円 $\gamma(\theta)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$、$0\le\theta\le2\pi$ を考える。

(1) $\int_\gamma(y\,dx-x\,dy)$ を求めよ。

(2) 原点を除く平面上で $d\bigl((y\,dx-x\,dy)/(x^2+y^2)\bigr)=0$ を示せ。

(3) $\int_\gamma(y\,dx-x\,dy)/(x^2+y^2)$ を求めよ。

题目描述

设 $a,b>0$，有向椭圆由 $(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$、$0\le\theta\le2\pi$ 给出。(1) 求 $\int_\gamma(y\,dx-x\,dy)$。(2) 证明去掉原点后，形式 $(y\,dx-x\,dy)/(x^2+y^2)$ 的外微分为零。(3) 求该形式沿椭圆的积分。

Kai

(1)

$y\,dx-x\,dy=-ab\,d\theta$ より、答えは $\boxed{-2\pi ab}$。

(2)

$P=y/(x^2+y^2)$、$Q=-x/(x^2+y^2)$ とおけば

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{\partial P}{\partial y}.$$

よって $d(P\,dx+Q\,dy)=(Q_x-P_y)\,dx\wedge dy=0$。

(3)

対称性と $t=\tan\theta$ によって

$$\begin{aligned} \int_\gamma\frac{y\,dx-x\,dy}{x^2+y^2} &=-4ab\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\\ &=-4ab\int_0^\infty\frac{dt}{a^2+b^2t^2} =\boxed{-2\pi}. \end{aligned}$$