千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B2

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• 商环

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $\mathbb Q[X]/(X^2+aX+6)$ が体にならない整数 $a$ をすべて求めよ。

(2) $K=\mathbb Q[X]/(X^2+2X+6)$ が $\mathbb Q$ のガロア拡大であることを示し、ガロア群を求めよ。

(3) $R=\mathbb Q[X,Y]/(X^2+2X+6)$ の非零素イデアルは極大であることを示せ。

(4) $\mathfrak m$ を $R$ の極大イデアルとする。体の埋め込み $R/\mathfrak m\hookrightarrow\mathbb C$ 全体の集合は、空でない有限集合であることを示せ。

题目描述

(1) 求使 $\mathbb Q[X]/(X^2+aX+6)$ 不是域的全部整数 $a$。(2) 证明 $K=\mathbb Q[X]/(X^2+2X+6)$ 是 $\mathbb Q$ 的 Galois 扩张并求其群。(3) 对 $R=\mathbb Q[X,Y]/(X^2+2X+6)$，证明非零素理想均极大。(4) 对任意极大理想 $\mathfrak m$，证明 $R/\mathfrak m$ 到 $\mathbb C$ 的域嵌入组成非空有限集。

Kai

(1)

体でないことは $X^2+aX+6$ が $\mathbb Q$ 上可約であることと同値である。有理根定理より、可約なら整数根 $r,s$ をもち、$rs=6$、$r+s=-a$ である。整数の因数対を調べると

$$\boxed{a\in\{-7,-5,5,7\}}.$$

(2)

$X^2+2X+6=(X+1)^2+5$ は $\mathbb Q$ 上既約であり、$K\cong\mathbb Q(\sqrt{-5})$ である。これは同多項式の分解体で、標数 $0$ より分離的である。したがってガロア拡大であり、

$$\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)=\{1,\sigma\}\cong\mathbb Z/2\mathbb Z, \qquad\sigma(\sqrt{-5})=-\sqrt{-5}.$$

(3)

$R\cong K[Y]$ は体上の一変数多項式環であり、単項イデアル整域である。非零素イデアルは既約多項式 $p(Y)$ によって生成され、その商 $K[Y]/(p)$ は体なので極大である。

(4)

$\mathfrak m=(p)$ と書けば、$L=R/\mathfrak m$ は $[L:K]=\deg p<\infty$ を満たす。よって $[L:\mathbb Q]=2\deg p<\infty$ である。標数 $0$ なので $L/\mathbb Q$ は分離的であり、原始元定理により $L=\mathbb Q(\theta)$ と書ける。$\theta$ の最小多項式は複素数体内に相異なる $[L:\mathbb Q]$ 個の根をもち、それぞれが埋め込みを一意に定める。したがって埋め込みの個数は $[L:\mathbb Q]$ であり、正の有限数である。