千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 B1

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• Group-Homomorphisms-and-Quotient-Groups

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$f:G\to H$ を全射群準同型とする。

(1) 部分群 $L\le G$ に対し $L\ker f=\{xa\mid x\in L,a\in\ker f\}$ が部分群であり、$f^{-1}(f(L))=L\ker f$ であることを示せ。

(2) $M\le G$ に対し $\Gamma(M)=\{(x,f(x))\mid x\in M\}$ が $G\times H$ の部分群であること、および $\Gamma(G)/\Gamma(\ker f)\cong H$ を示せ。

(3) $N\trianglelefteq G$ に対し $\Delta(N)=N\times f(N)$ が $G\times H$ の正規部分群であること、および $(G\times H)/\Delta(\ker f)\cong H\times H$ を示せ。

题目描述

设 $f:G\to H$ 为满群同态。(1) 证明任意子群 $L$ 满足 $L\ker f=f^{-1}(f(L))$，且这是子群。(2) 证明子群 $M$ 的图像 $\Gamma(M)$ 是直积群的子群，并证明 $\Gamma(G)/\Gamma(\ker f)\cong H$。(3) 若 $N$ 正规，证明 $\Delta(N)=N\times f(N)$ 正规，及 $(G\times H)/\Delta(\ker f)\cong H\times H$。

Kai

(1)

$g\in f^{-1}(f(L))$ ならば、ある $x\in L$ について $f(g)=f(x)$ である。したがって $x^{-1}g\in\ker f$、すなわち $g\in L\ker f$ である。逆包含も $f(xa)=f(x)$ から従う。$f(L)$ は部分群なので、その逆像 $L\ker f$ も部分群である。

(2)

$x\mapsto(x,f(x))$ は群準同型であるから、その $M$ 上の像 $\Gamma(M)$ は部分群である。準同型

$$\Gamma(G)\longrightarrow H,\qquad(x,f(x))\longmapsto f(x)$$

は全射で、核は $\Gamma(\ker f)$ である。準同型定理により所望の同型を得る。

(3)

$f$ が全射で $N$ が正規なので、任意の $h=f(g)\in H$ に対し $hf(N)h^{-1}=f(gNg^{-1})=f(N)$ となる。よって $f(N)\trianglelefteq H$ であり、$N\times f(N)$ も正規である。

全射準同型 $(g,h)\mapsto(f(g),h)$ の核は $\ker f\times\{e_H\}=\Delta(\ker f)$ だから、準同型定理より

$$(G\times H)/\Delta(\ker f)\cong H\times H.$$