千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 A4

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• Product-of-Independent-Uniform-Variables

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,X_2$ は独立で、それぞれ $(-1,1)$ 上の一様分布に従う。

(1) $Y=\min(X_1,X_2)$ の積率母関数を求めよ。

(2) $W=X_1+X_2$ の確率密度関数を求め、図示せよ。

(3) $Z=X_1X_2$ の確率密度関数を求め、図示せよ。

题目描述

$X_1,X_2$ 相互独立且均服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布。

(1) 求最小值 $Y$ 的矩母函数。(2) 求和 $W$ 的概率密度并画图。(3) 求积 $Z$ 的概率密度并画图。

Kai

(1)

$-1<y<1$ において $P(Y>y)=((1-y)/2)^2$ なので、$f_Y(y)=(1-y)/2$ である。よって

$$M_Y(t)=\frac12\int_{-1}^1e^{ty}(1-y)\,dy =\begin{cases} \dfrac{\sinh t}{t}-\dfrac{\cosh t}{t}+\dfrac{\sinh t}{t^2},&t\ne0,\\ 1,&t=0. \end{cases}$$

(2)

畳み込みにより、$f_W(w)$ は区間 $(-1,1)\cap(w-1,w+1)$ の長さの $1/4$ 倍である。したがって

$$f_W(w)=\begin{cases}(2-|w|)/4,&|w|<2,\\0,&|w|\ge2.\end{cases}$$

(3)

積の密度の変換公式より、$0<|z|<1$ において

$$f_Z(z)=\frac14\int_{|z|<|x|<1}\frac{dx}{|x|} =-\frac12\log|z|.$$

したがって $|z|\ge1$ で密度は $0$ である。$z=0$ での値は分布に影響しない。原点に近づくと密度は $+\infty$ に発散する。