千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 A3

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• Compactness-and-Connectedness

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) 位相空間 $X$、部分集合 $A\subset X$、連続写像 $f:X\to X$ を考える。性質 (P1) 開、(P2) 閉、(P3) コンパクト、(P4) 連結、(P5) $X$ で稠密のうち、常に $A$ から $f(A)$ に引き継がれるもの、および常に $A$ から $f^{-1}(A)$ に引き継がれるものをすべて挙げよ。理由は不要である。

(2) 次の連続全射は存在するか。存在すれば具体例を、存在しなければ理由を述べよ。各集合には実数直線からの相対位相を入れる。

(a) $\mathbb R\to\mathbb Z$、(b) $[0,1]\to(0,1)$、(c) $(0,1)\to[0,1]$、(d) $\mathbb Q\to\mathbb Z$。

题目描述

(1) 对任意拓扑空间 $X$、子集 $A$ 和连续自映射 $f$，在“开、闭、紧、连通、在 $X$ 中稠密”五种性质中，哪些总能从 $A$ 传给像 $f(A)$，哪些总能传给原像 $f^{-1}(A)$？只需回答。

(2) 判断上列四种连续满射是否存在；若存在则构造，否则说明理由。所有集合取实数轴的相对拓扑。

Kai

(1)

像：(P3), (P4)。逆像：(P1), (P2)。

(2)

(a) 存在しない。 連結空間 $\mathbb R$ の連続像は連結だが、$\mathbb Z$ は連結でない。

(b) 存在しない。 コンパクト空間 $[0,1]$ の連続像はコンパクトだが、$(0,1)$ はコンパクトでない。

(c) 存在する。 $f(x)=(1+\sin(2\pi x))/2$ は連続で、$x=1/4,3/4$ でそれぞれ $1,0$ をとる。中間値の定理により全射である。

(d) 存在する。 $f(q)=\lfloor q-\sqrt2\rfloor$ とおく。各ファイバー

$$f^{-1}(\{k\})=\mathbb Q\cap(k+\sqrt2,k+1+\sqrt2)$$

は $\mathbb Q$ の開集合であり、空でない。したがって $f$ は連続全射である。