千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 A2

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• 变量代换与雅可比行列式
• 三重积分

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $D=\{(x,y)\mid0\le x-y\le1,\ 0\le x+y\le1\}$ における次の積分を求めよ。

$$\iint_D\frac{x-y}{1+(x-y)(x+y)}\,dx\,dy.$$

(2) 単位球 $B=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1\}$ 上で、自然数 $n$ と実定数 $\alpha,\beta,\gamma$ に対して次の積分を求めよ。

$$\text{(i) }\iiint_B(x^2+y^2+z^2)^n\,dV,\quad \text{(ii) }\iiint_B x^{2n}\,dV,\quad \text{(iii) }\iiint_B(\alpha x+\beta y+\gamma z)^{2n}\,dV.$$

题目描述

(1) 在 $D=\{0\le x-y\le1,\ 0\le x+y\le1\}$ 上计算上式二重积分。

(2) 设 $B$ 为三维单位球、$n$ 为自然数、$\alpha,\beta,\gamma$ 为实常数，分别计算上式三个三重积分。

Kai

(1)

$u=x-y,v=x+y$ とすると $dx\,dy=\tfrac12du\,dv$ である。よって

$$\iint_D\frac{x-y}{1+(x-y)(x+y)}\,dx\,dy =\frac12\int_0^1\int_0^1\frac{u}{1+uv}\,dv\,du =\frac12\int_0^1\log(1+u)\,du =\log2-\frac12.$$

(2)

(i) 球座標により

$$4\pi\int_0^1r^{2n+2}\,dr=\boxed{\frac{4\pi}{2n+3}}.$$

(ii) $x$ を固定した断面の面積は $\pi(1-x^2)$ なので

$$\pi\int_{-1}^1x^{2n}(1-x^2)\,dx =\boxed{\frac{4\pi}{(2n+1)(2n+3)}}.$$

(iii) 球の回転不変性を用いて $(\alpha,\beta,\gamma)$ の方向を新しい第 $1$ 軸にとれば、(ii) より

$$\boxed{\frac{4\pi(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)^n}{(2n+1)(2n+3)}}.$$

$\alpha=\beta=\gamma=0$ の場合も直接同じ結論を得る。