千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 A1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実 $4$ 次正方行列 $A$ により $f:\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ を $f(x)=Ax$ と定め、$\ker f\ne\ker f^2$ と仮定する。

(1) $f$ は単射でないことを示せ。(2) $\operatorname{rank}A^2\le2$ を示せ。(3) $A$ は対角化できないことを示せ。

(4) さらに一次独立な $a,b,c\in\mathbb R^4$ が存在して $f(a)-f(b)=a-b$、$f(b)-f(c)=b-c$ を満たすとき、$A$ の固有多項式とジョルダン標準形を求めよ。

题目描述

设 $A$ 为实 $4$ 阶方阵，$f(x)=Ax$ 且 $\ker f\ne\ker f^2$。

(1) 证明 $f$ 不是单射。(2) 证明 $\operatorname{rank}A^2\le2$。(3) 证明 $A$ 不可对角化。

(4) 若另有线性无关的 $a,b,c$ 满足 $f(a-b)=a-b$、$f(b-c)=b-c$，求特征多项式和 Jordan 标准形。

Kai

(1), (2)

$v\in\ker f^2\setminus\ker f$ をとる。$f(v)\ne0$ かつ $f(f(v))=0$ より $\ker f\ne\{0\}$、したがって $f$ は単射でない。また $v,f(v)$ は一次独立である。実際、$av+bf(v)=0$ に $f$ を作用させると $af(v)=0$、ゆえに $a=b=0$ となる。よって

$$\dim\ker f^2\ge2,\qquad \operatorname{rank}A^2=4-\dim\ker f^2\le2.$$

(3)

対角行列 $D$ では $\ker D=\ker D^2$ である。対角化可能ならば $A$ についても同じ等式が成り立ち、仮定に反する。

(4)

$a-b,b-c$ は一次独立な固有値 $1$ の固有ベクトルである。一方、$v,f(v)$ は固有値 $0$ の長さ $2$ のジョルダン鎖をなす。両者の張る空間の交わりは $\{0\}$ なので、これらで全空間が尽くされる。したがって

$$\det(tI-A)=t^2(t-1)^2,\qquad J=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}.$$