千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2013年8月実施 専門 A0

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

空でない集合 $X,Y$ と写像 $f:X\to Y$ に対し、$Z=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$、$L_c=X\times\{c\}$ ($c\in Y$) とおく。$|S|$ は集合 $S$ の濃度を表す。

(1) 全単射 $g:Z\to X$ の存在を示せ。

(2) $f$ が単射であることと、すべての $c\in Y$ で $|L_c\cap Z|\le1$ であることの同値を示せ。

(3) $f$ が全射であることと、すべての $c\in Y$ で $|L_c\cap Z|\ge1$ であることの同値を示せ。

(4) 任意の $U\subset X\times Y$ に対して次を示し、等号が成り立たない例を挙げよ。

$$U\cap Z\subset\bigcup_{c\in Y,\ L_c\cap U\ne\varnothing}(L_c\cap Z).$$

题目描述

设非空集合 $X,Y$ 及映射 $f:X\to Y$，令 $Z=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$、$L_c=X\times\{c\}$，$|S|$ 表示基数。

(1) 证明存在双射 $Z\to X$。(2) 证明 $f$ 单射当且仅当每个 $L_c\cap Z$ 至多有一个元素。(3) 证明 $f$ 满射当且仅当每个 $L_c\cap Z$ 非空。

(4) 对任意 $U\subset X\times Y$，证明上述包含关系，并举出严格包含的例子。

Kai

(1)

$g(x,f(x))=x$ とすれば、逆写像は $x\mapsto(x,f(x))$ である。

(2), (3)

$L_c\cap Z=\{(x,c)\mid f(x)=c\}$ である。したがって、その濃度が各 $c$ について高々 $1$ であることは単射性と、少なくとも $1$ であることは全射性と、それぞれ同値である。

(4)

$(x,y)\in U\cap Z$ ならば $(x,y)\in L_y\cap U$ かつ $(x,y)\in L_y\cap Z$ であるから、右辺に属する。

$X=\{0,1\}$、$Y=\{0\}$、$f(x)=0$、$U=\{(0,0)\}$ とすると、左辺は $\{(0,0)\}$、右辺は $\{(0,0),(1,0)\}$ となり、等しくない。