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千葉大学 電気電子系コース 入学試験問題例題集 数学 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の設問に答えよ。

(1) 陰関数で表された曲線 x3+y3−4xy=0x^3+y^3-4xy=0 上の点 (2,2)(2,2) における接線の方程式を求めよ。

(2) 曲線 x(t)=t−sin⁡tx(t)=t-\sin t、y(t)=1−cos⁡ty(t)=1-\cos t（0≤t≤2π0\le t\le2\pi）の長さを求めよ。

(3) 次の写像のヤコビ行列を求めよ。

f:R2→R3,f(xy)=(xey+cos⁡yxx+ey).f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\qquad f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xe^y+\cos y\\x\\x+e^y\end{pmatrix}.

题目描述​

  1. 求隐式曲线 x3+y3−4xy=0x^3+y^3-4xy=0 在 (2,2)(2,2) 的切线方程。
  2. 求参数曲线 x=t−sin⁡t,y=1−cos⁡tx=t-\sin t,y=1-\cos t（0≤t≤2π0\le t\le2\pi）的长度。
  3. 求映射 f(x,y)=(xey+cos⁡y,x,x+ey)Tf(x,y)=(xe^y+\cos y,x,x+e^y)^{\mathsf T} 的 Jacobian 矩阵。

Kai​

(1)​

F(x,y)=x3+y3−4xyF(x,y)=x^3+y^3-4xy とおく。Fy(2,2)=3⋅22−4⋅2=4≠0F_y(2,2)=3\cdot2^2-4\cdot2=4\ne0 なので、近傍で yy は xx の微分可能な関数として表される。

y′=−FxFy=−3x2−4y3y2−4x,y′(2)=−1.y'=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{3x^2-4y}{3y^2-4x},\qquad y'(2)=-1.

よって接線は y−2=−(x−2)y-2=-(x-2)、すなわち x+y−4=0\boxed{x+y-4=0}。

(2)​

x′=1−cos⁡tx'=1-\cos t、y′=sin⁡ty'=\sin t から、

L=∫02π(1−cos⁡t)2+sin⁡2t dt=2∫02π∣sin⁡t2∣ dt=2∫02πsin⁡t2 dt=8.\begin{aligned} L&=\int_0^{2\pi}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t}\,dt\\ &=2\int_0^{2\pi}\left|\sin\frac t2\right|\,dt =2\int_0^{2\pi}\sin\frac t2\,dt=\boxed8. \end{aligned}

(3)​

各成分を x,yx,y で偏微分すると、

Df(x,y)=(eyxey−sin⁡y101ey).\boxed{Df(x,y)=\begin{pmatrix} e^y&xe^y-\sin y\\1&0\\1&e^y \end{pmatrix}}.

Reference​

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