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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2025年8月実施 選択問題 8 応用数学

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

問1​

  1. z=reiθz=re^{i\theta}, w=z2=u+ivw=z^2=u+iv とする。極形式の Cauchy--Riemann 方程式を用いて ww が正則であることを示し、導関数を求めよ。
  2. zz 平面上の C1:y=x2C_1:y=x^2 と C2:y=1/xC_2:y=1/x を w=z2w=z^2 で写す。交点 z0=1+iz_0=1+i の像で、二つの像曲線の接線がなす大きい方の角を ψ\psi とするとき、tan⁡ψ\tan\psi を求めよ。

問2​

  1. 反時計回りの円 C:∣z−i∣=2C:|z-i|=2 に沿う積分
    ∮C2(z−i)z(z−2i) dz\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz
    を求めよ。
  2. 自然数 nn に対して ∫02πcos⁡2nθ dθ\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta を求めよ。

题目描述​

本题考查极坐标形式的 Cauchy--Riemann 方程、保角映射下的切线夹角、留数定理，以及偶次余弦幂的定积分。

Kai​

問1​

(1)​

u=r2cos⁡2θ,v=r2sin⁡2θ.u=r^2\cos2\theta,\qquad v=r^2\sin2\theta.

r>0r>0 では

ur=1rvθ=2rcos⁡2θ,vr=−1ruθ=2rsin⁡2θu_r=\frac1r v_\theta=2r\cos2\theta, \qquad v_r=-\frac1r u_\theta=2r\sin2\theta

が成立する。z=0z=0 でも

lim⁡z→0z2z=0\lim_{z\to0}\frac{z^2}{z}=0

より微分可能である。したがって w=z2w=z^2 は全平面で正則であり、

dwdz=2z.\boxed{\frac{dw}{dz}=2z}.

(2)​

w0=(1+i)2=2iw_0=(1+i)^2=2i である。xx を媒介変数とすると、

ddx(x+ix2)2∣x=1=2(1+i)(1+2i)=−2+6i,\left.\frac{d}{dx}(x+ix^2)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1+2i)=-2+6i,
ddx(x+ix)2∣x=1=2(1+i)(1−i)=4.\left.\frac{d}{dx}\left(x+\frac{i}{x}\right)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1-i)=4.

よって像曲線の接線の傾きは m1=−3m_1=-3, m2=0m_2=0 である。大きい方の角について

tan⁡ψ=m1−m21+m1m2=−3.\boxed{\tan\psi=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=-3}.

問2​

(1)​

被積分関数の極 0,2i0,2i はともに CC の内部にあり、各留数は

Res⁡z=02(z−i)z(z−2i)=1,Res⁡z=2i2(z−i)z(z−2i)=1.\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1, \qquad \operatorname*{Res}_{z=2i}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1.

したがって留数定理より

∮C2(z−i)z(z−2i) dz=4πi.\boxed{\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz=4\pi i}.

(2)​

In=∫02πcos⁡2nθ dθI_n=\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta とおく。部分積分により

In=2n−12nIn−1,I0=2π.I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}, \qquad I_0=2\pi.

よって

In=π(2n)!22n−1(n!)2.\boxed{ I_n=\frac{\pi(2n)!}{2^{2n-1}(n!)^2} }.
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