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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2025年8月実施 選択問題 8 応用数学

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

虚数単位を ii で記す。以下の問 1、問 2 に答えよ。

問 1. つぎの小問に答えよ。ここで、自然対数の底を ee で記し、z,wz,w を複素数の変数、x,y,u,v,r,θx,y,u,v,r,\theta を実数の変数とする。

（1）z=reiθz=re^{i\theta} の関数 w=z2w=z^2 について、w=u+ivw=u+iv とおく。極形式のコーシー・リーマンの方程式を用いて ww が任意の点で正則であることを示し、ww の導関数を求めよ。

（2）z=x+iyz=x+iy とおく。zz 平面上の 2 曲線 C1:y=x2C_1:y=x^2 と C2:y=1/xC_2:y=1/x とは交点 z0=1+iz_0=1+i で交わる。関数 w=z2w=z^2 により ww 平面に写される 2 曲線 C1C_1 と C2C_2 と交点 z0z_0 の像を順に Γ1,Γ2,w0\Gamma_1,\Gamma_2,w_0 とおく。ww 平面上で交点 w0w_0 での Γ1\Gamma_1 と Γ2\Gamma_2 の接線をそれぞれ m1,m2m_1,m_2 とおき、m1m_1 と m2m_2 のなす角の大きいほうを ψ\psi とおくとき、tan⁡ψ\tan\psi を求めよ。

問 2. つぎの小問に答えよ。ここで、積分路はすべて反時計回りとする。

（1）積分路 C:∣z−i∣=2C:|z-i|=2 に沿った以下の 1 周線積分の値を求めよ。

∮C2(z−i)z(z−2i) dz\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz

（2）自然数 nn に対してつぎの定積分を求めよ。ここで、θ\theta を実数の変数とする。

∫02πcos⁡2nθ dθ\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta

キーワード：虚数単位 imaginary unit、自然対数の底 base of natural logarithm、複素数 complex number、変数 variable、実数 real number、関数 function、極形式 polar form、コーシー・リーマンの方程式 Cauchy-Riemann equations、任意の点 arbitrary point、正則 regular、導関数 derivative function、平面 plane、曲線 curved line、交点 point of intersection、像 image、接線 tangent line、角 angle、積分路 integral path、反時計回り counterclockwise、1 周線積分 one round line integral、値 value、自然数 natural number、定積分 definite integral。

题目描述​

以 ii 表示虚数单位，回答问题 1、2。

问 1. 回答下列小问。ee 为自然对数的底，z,wz,w 为复变量，x,y,u,v,r,θx,y,u,v,r,\theta 为实变量。

（1）对于 z=reiθz=re^{i\theta} 的函数 w=z2w=z^2，令 w=u+ivw=u+iv。利用极坐标形式的柯西—黎曼方程，证明 ww 在任意点全纯，并求 ww 的导函数。

（2）令 z=x+iyz=x+iy。zz 平面上的两条曲线 C1:y=x2C_1:y=x^2 与 C2:y=1/xC_2:y=1/x 相交于 z0=1+iz_0=1+i。在映射 w=z2w=z^2 下，C1,C2,z0C_1,C_2,z_0 在 ww 平面上的像依次为 Γ1,Γ2,w0\Gamma_1,\Gamma_2,w_0。设 Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2 在交点 w0w_0 处的切线分别为 m1,m2m_1,m_2，两切线所成的较大角为 ψ\psi，求 tan⁡ψ\tan\psi。

问 2. 回答下列小问，积分路径均沿逆时针方向。

（1）求沿路径 C:∣z−i∣=2C:|z-i|=2 绕行一周的积分

∮C2(z−i)z(z−2i) dz.\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz.

（2）对自然数 nn，求定积分

∫02πcos⁡2nθ dθ,\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta,

其中 θ\theta 为实变量。

Kai​

問1​

(1)​

u=r2cos⁡2θ,v=r2sin⁡2θ.u=r^2\cos2\theta,\qquad v=r^2\sin2\theta.

r>0r>0 では

ur=1rvθ=2rcos⁡2θ,vr=−1ruθ=2rsin⁡2θ\begin{gathered} u_r=\frac1r v_\theta=2r\cos2\theta,\\ v_r=-\frac1r u_\theta=2r\sin2\theta \end{gathered}

が成立する。z=0z=0 でも

lim⁡z→0z2z=0\lim_{z\to0}\frac{z^2}{z}=0

より微分可能である。したがって w=z2w=z^2 は全平面で正則であり、

dwdz=2z.\boxed{\frac{dw}{dz}=2z}.

(2)​

w0=(1+i)2=2iw_0=(1+i)^2=2i である。xx を媒介変数とすると、

ddx(x+ix2)2∣x=1=2(1+i)(1+2i)=−2+6i,\begin{gathered} \left.\frac{d}{dx}(x+ix^2)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1+2i)\\ =-2+6i, \end{gathered}
ddx(x+ix)2∣x=1=2(1+i)(1−i)=4.\left.\frac{d}{dx}\left(x+\frac{i}{x}\right)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1-i)=4.

よって像曲線の接線の傾きは m1=−3m_1=-3, m2=0m_2=0 である。大きい方の角について

tan⁡ψ=m1−m21+m1m2=−3.\boxed{\tan\psi=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=-3}.

問2​

(1)​

被積分関数の極 0,2i0,2i はともに CC の内部にあり、各留数は

Res⁡z=02(z−i)z(z−2i)=1,Res⁡z=2i2(z−i)z(z−2i)=1.\begin{gathered} \operatorname*{Res}_{z=0}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1,\\ \operatorname*{Res}_{z=2i}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1. \end{gathered}

したがって留数定理より

∮C2(z−i)z(z−2i) dz=4πi.\boxed{\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz=4\pi i}.

(2)​

In=∫02πcos⁡2nθ dθI_n=\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta とおく。部分積分により

In=2n−12nIn−1,I0=2π.I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}, \qquad I_0=2\pi.

よって

In=π(2n)!22n−1(n!)2.\boxed{ I_n=\frac{\pi(2n)!}{2^{2n-1}(n!)^2} }.

Reference​

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