電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2025年8月実施 選択問題 8 応用数学

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Cauchy-Riemann-Equations
• Conformal-Mapping
• Contour-Integration
• Residue-Theorem
• Definite-Integral

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問1

1. $z=re^{i\theta}$, $w=z^2=u+iv$ とする。極形式の Cauchy--Riemann 方程式を用いて $w$ が正則であることを示し、導関数を求めよ。
2. $z$ 平面上の $C_1:y=x^2$ と $C_2:y=1/x$ を $w=z^2$ で写す。交点 $z_0=1+i$ の像で、二つの像曲線の接線がなす大きい方の角を $\psi$ とするとき、$\tan\psi$ を求めよ。

問2

1. 反時計回りの円 $C:|z-i|=2$ に沿う積分
   $$\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz$$
   を求めよ。
2. 自然数 $n$ に対して $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta$ を求めよ。

题目描述

本题考查极坐标形式的 Cauchy--Riemann 方程、保角映射下的切线夹角、留数定理，以及偶次余弦幂的定积分。

Kai

問1

(1)

$$u=r^2\cos2\theta,\qquad v=r^2\sin2\theta.$$

$r>0$ では

$$u_r=\frac1r v_\theta=2r\cos2\theta, \qquad v_r=-\frac1r u_\theta=2r\sin2\theta$$

が成立する。$z=0$ でも

$$\lim_{z\to0}\frac{z^2}{z}=0$$

より微分可能である。したがって $w=z^2$ は全平面で正則であり、

$$\boxed{\frac{dw}{dz}=2z}.$$

(2)

$w_0=(1+i)^2=2i$ である。$x$ を媒介変数とすると、

$$\left.\frac{d}{dx}(x+ix^2)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1+2i)=-2+6i,$$

$$\left.\frac{d}{dx}\left(x+\frac{i}{x}\right)^2\right|_{x=1} =2(1+i)(1-i)=4.$$

よって像曲線の接線の傾きは $m_1=-3$, $m_2=0$ である。大きい方の角について

$$\boxed{\tan\psi=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=-3}.$$

問2

(1)

被積分関数の極 $0,2i$ はともに $C$ の内部にあり、各留数は

$$\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1, \qquad \operatorname*{Res}_{z=2i}\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}=1.$$

したがって留数定理より

$$\boxed{\oint_C\frac{2(z-i)}{z(z-2i)}\,dz=4\pi i}.$$

(2)

$I_n=\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta$ とおく。部分積分により

$$I_n=\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}, \qquad I_0=2\pi.$$

よって

$$\boxed{ I_n=\frac{\pi(2n)!}{2^{2n-1}(n!)^2} }.$$