電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2025年8月実施 必須問題（数学）問2 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)
Description 以下の設問に答えよ。
（1） 次の x , y , z x,y,z x , y , z c c c x , y , z x,y,z x , y , z
{ x + 2 y + 3 z = 4 , x + 3 y + 6 z = 10 , x + 4 y + 9 z = c . \begin{cases}x+2y+3z=4,\\x+3y+6z=10,\\x+4y+9z=c.\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 3 z = 4 , x + 3 y + 6 z = 10 , x + 4 y + 9 z = c . （2） 行列 A A A
A = ( 3 − 1 − 2 2 0 − 4 − 1 1 4 ) A=\begin{pmatrix}3&-1&-2\\2&0&-4\\-1&1&4\end{pmatrix} A = 3 2 − 1 − 1 0 1 − 2 − 4 4 正則行列 P P P P − 1 A P P^{-1}AP P − 1 A P P P P
（3） P , Q \boldsymbol P,\boldsymbol Q P , Q e \boldsymbol e e L L L P \boldsymbol P P e \boldsymbol e e π \pi π Q \boldsymbol Q Q L L L L L L π \pi π R \boldsymbol R R P , Q , e \boldsymbol P,\boldsymbol Q,\boldsymbol e P , Q , e a , b \boldsymbol a,\boldsymbol b a , b a ⋅ b \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b a ⋅ b
キーワード：連立 1 次方程式 simultaneous linear equations、行列 matrix、正則行列 regular matrix、対角化 diagonalization、対角行列 diagonal matrix、3 次元座標 three dimensional coordinate、3 次元単位ベクトル three dimensional unit vector、方向ベクトル direction vector、内積 inner product。
题目描述
回答下列问题。
（1） 当下列关于 x , y , z x,y,z x , y , z c c c x , y , z x,y,z x , y , z
{ x + 2 y + 3 z = 4 , x + 3 y + 6 z = 10 , x + 4 y + 9 z = c . \begin{cases}x+2y+3z=4,\\x+3y+6z=10,\\x+4y+9z=c.\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 3 z = 4 , x + 3 y + 6 z = 10 , x + 4 y + 9 z = c . （2） 给定矩阵
A = ( 3 − 1 − 2 2 0 − 4 − 1 1 4 ) . A=\begin{pmatrix}3&-1&-2\\2&0&-4\\-1&1&4\end{pmatrix}. A = 3 2 − 1 − 1 0 1 − 2 − 4 4 . 若可以利用可逆矩阵 P P P P − 1 A P P^{-1}AP P − 1 A P P P P
（3） 设 P , Q \boldsymbol P,\boldsymbol Q P , Q e \boldsymbol e e L L L P \boldsymbol P P e \boldsymbol e e π \pi π Q \boldsymbol Q Q L L L P , Q , e \boldsymbol P,\boldsymbol Q,\boldsymbol e P , Q , e L L L π \pi π R \boldsymbol R R a , b \boldsymbol a,\boldsymbol b a , b a ⋅ b \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b a ⋅ b
Kai (1)
拡大係数行列を行基本変形すると
( 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 9 c ) ∼ ( 1 0 − 3 − 8 0 1 3 6 0 0 0 c − 16 ) . \left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&9&c
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&-3&-8\\0&1&3&6\\0&0&0&c-16
\end{array}\right). 1 1 1 2 3 4 3 6 9 4 10 c ∼ 1 0 0 0 1 0 − 3 3 0 − 8 6 c − 16 . したがって c = 16 c=16 c = 16 z = t z=t z = t
( x , y , z ) = ( 3 t − 8 , − 3 t + 6 , t ) ( t ∈ R ) . \boxed{(x,y,z)=(3t-8,-3t+6,t)\quad(t\in\mathbb R)}. ( x , y , z ) = ( 3 t − 8 , − 3 t + 6 , t ) ( t ∈ R ) . (2)
det ( A − λ I ) = ( 3 − λ ) ( 2 − λ ) 2 \det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(2-\lambda)^2 det ( A − λ I ) = ( 3 − λ ) ( 2 − λ ) 2 より、固有値は 2 , 3 2,3 2 , 3
E 2 = span { ( 1 1 0 ) , ( 2 0 1 ) } , E 3 = span { ( − 1 − 2 1 ) } . \begin{gathered}
E_2=\operatorname{span}\left\{
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}
\right\},\\
E_3=\operatorname{span}\left\{
\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}
\right\}.
\end{gathered} E 2 = span ⎩ ⎨ ⎧ 1 1 0 , 2 0 1 ⎭ ⎬ ⎫ , E 3 = span ⎩ ⎨ ⎧ − 1 − 2 1 ⎭ ⎬ ⎫ . よって
P = ( 1 2 − 1 1 0 − 2 0 1 1 ) P=\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix} P = 1 1 0 2 0 1 − 1 − 2 1 とおけば det P ≠ 0 \det P\ne0 det P = 0
P − 1 A P = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 3 ) . \boxed{P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}. P − 1 A P = 2 0 0 0 2 0 0 0 3 . (3)
交点を R = P + t e R=P+te R = P + t e e e e
( R − Q ) ⋅ e = 0. (R-Q)\mathbin{\cdot}e=0. ( R − Q ) ⋅ e = 0. e ⋅ e = 1 e\mathbin{\cdot}e=1 e ⋅ e = 1 t = ( Q − P ) ⋅ e t=(Q-P)\mathbin{\cdot}e t = ( Q − P ) ⋅ e
R = P + { ( Q − P ) ⋅ e } e . \boxed{R=P+\{(Q-P)\mathbin{\cdot}e\}e}. R = P + {( Q − P ) ⋅ e } e . Reference