電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2024年8月実施 選択問題 応用数学

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• University-of-Electro-Communications
• Complex-Exponential-and-Polar-Form
• Branch-Cut
• Laurent-Series
• Residue-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問1

1. $e^{i\pi}$ を計算せよ。
2. 実数 $\theta\geq0$ に対して $|e^{i\theta}|$ を計算せよ。
3. $(1+i)^i$ を計算せよ。
4. $z=\sin w$ の逆関数が

$$\sin^{-1}z=-i\log\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)$$

と表せることを示せ。

問2

複素微分の定義から積の微分公式を示し、$z^2\log z$ と $e^{iz}$ を微分せよ。

問3

反時計回りの円 $C:|z|=1/2$ に対し、Laurent 展開と留数を用いて

$$\oint_C\frac{1}{z^2(1-z)}\,dz$$

を求めよ。

题目描述

计算复指数和复幂，推导复反正弦的对数表示；从定义证明复函数乘积求导法则并完成两项求导；最后用 Laurent 展开与留数计算围道积分。

Kai

問1

(1)

Euler の公式より

$$\boxed{e^{i\pi}=-1}.$$

(2)

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

より

$$\boxed{|e^{i\theta}|=1}.$$

(3)

$1+i=\sqrt2e^{i(\pi/4+2\pi k)}$ より

$$(1+i)^i =e^{-(\pi/4+2\pi k)}e^{i\log\sqrt2}\qquad(k\in\mathbb Z).$$

したがって主値は

$$\boxed{e^{-\pi/4} \left(\cos\frac{\log2}{2}+i\sin\frac{\log2}{2}\right)}.$$

(4)

$u=e^{iw}$ とおくと

$$z=\sin w=\frac{u-u^{-1}}{2i}$$

であるから

$$u^2-2izu-1=0,\qquad u=iz+\sqrt{1-z^2}.$$

よって枝を整合的に選べば

$$\boxed{w=-i\log\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)}.$$

問2

(1)

$\Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)$、$\Delta g=g(z+\Delta z)-g(z)$ とすると

$$\frac{\Delta(fg)}{\Delta z} =g(z)\frac{\Delta f}{\Delta z} +f(z)\frac{\Delta g}{\Delta z} +\Delta f\frac{\Delta g}{\Delta z}.$$

$\Delta z\to0$ とすれば $\Delta f\to0$ であるから

$$\boxed{(fg)'=f'g+fg'}.$$

(2)

一つの正則な対数の枝上で

$$\boxed{\frac{d}{dz}(z^2\log z)=2z\log z+z}.$$

(3)

$$\boxed{\frac{d}{dz}e^{iz}=ie^{iz}}.$$

問3

$|z|<1$ において

$$\frac1{z^2(1-z)} =\frac1{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}z^n =z^{-2}+z^{-1}+1+z+\cdots.$$

したがって $z=0$ における留数は $1$ であり、

$$\boxed{\displaystyle \oint_C\frac{1}{z^2(1-z)}\,dz=2\pi i}.$$